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Plancksches Strahlungsgesetz
Das Plancksche Strahlungsgesetz gibt für die Wärmestrahlung eines schwarzen Körpers je nach dessen Temperatur die Verteilung der elektromagnetischen …
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Kernidee und Bedeutung
Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt die Wärmestrahlung eines schwarzen Körpers. Es gibt an, wie sich die elektromagnetische Strahlungsleistung je nach Temperatur auf verschiedene Wellenlängen oder Frequenzen verteilt. Ein alltäglicher Hinweis darauf ist eine Glühwendel: Bei etwa 700 °C leuchtet sie rot, bei 2500 °C orange bis gelb.
Ein Schwarzer Körper ist ein ideales Modell: Er absorbiert Strahlung jeder Wellenlänge und Intensität vollständig. Nach dem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz sind Absorptionsvermögen und Emissionsvermögen für thermische Strahlung proportional. Weil ein Schwarzkörper maximal absorbiert, besitzt er auch das maximal mögliche Emissionsvermögen. Kein realer Körper kann bei einer Wellenlänge mehr thermische Strahlung aussenden als ein Schwarzkörper. Sein Spektrum hängt nur von der Temperatur ab und heißt Schwarzkörperspektrum, Planck-Spektrum oder Schwarzkörperspektrum.
Max Planck fand das Gesetz im Jahr 1900. Die Entdeckung gilt als Geburtsstunde der Quantenphysik, weil Planck zur Erklärung der Formel annehmen musste, dass Energie nicht kontinuierlich, sondern nur in kleinsten Portionen aufgenommen und abgegeben wird. Diese Portionen wurden später Quanten genannt; heute spricht man bei Licht von Photonen.
Das Plancksche Strahlungsgesetz vereinte mehrere schon bekannte Gesetze: das Stefan-Boltzmann-Gesetz für die gesamte abgestrahlte Leistung proportional zu T^4, das Rayleigh-Jeans-Gesetz für große Wellenlängen, das Wiensche Strahlungsgesetz für kleine Wellenlängen und das Wiensche Verschiebungsgesetz für die Lage des Strahlungsmaximums.
Hohlraumstrahlung und Zustandsdichte
Zur Herleitung betrachtet man einen würfelförmigen Hohlraum mit Seitenlänge L und Volumen V, der elektromagnetische Hohlraumstrahlung im thermischen Gleichgewicht enthält. In diesem Hohlraum können sich nur stehende Wellen bilden. Zwischen zwei gegenüberliegenden Wänden muss jeweils eine ganzzahlige Anzahl von Halbwellen passen. An den Innenwänden liegen Knotenpunkte, weil die elektromagnetischen Wellen innerhalb der Wände nicht existieren können und dort elektrische und magnetische Feldstärke null sind.
Dadurch sind nur bestimmte diskrete Schwingungszustände erlaubt. Mit steigender Frequenz nimmt die Zahl dieser Zustände zu, weil kürzere Wellen mehr Möglichkeiten haben, in den Hohlraum zu passen. Die Anzahl erlaubter Schwingungszustände im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν pro Volumen heißt Zustandsdichte g(ν) dν. Sie lautet:
g(ν) dν = (8π/c^3) ν^2 dν.
Diese Zustandsdichte ist ein wichtiger Baustein des Strahlungsgesetzes: Sie sagt, wie viele mögliche Schwingungszustände es bei einer bestimmten Frequenz gibt, aber noch nicht, wie stark diese Zustände tatsächlich angeregt sind.
Klassisches Problem und Quantenhypothese
In der klassischen Physik fasst man jeden Schwingungszustand als harmonischen Oszillator der Frequenz ν auf. Nach dem Gleichverteilungssatz der klassischen Thermodynamik sollte jeder Oszillator im Mittel die Energie k_B T tragen: k_B T/2 als kinetische und k_B T/2 als potentielle Energie. k_B ist die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur.
Daraus folgt das Rayleigh-Jeans-Gesetz für die Energiedichte im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν:
U_ν^RJ(ν,T) dν = (8π/c^3) k_B T ν^2 dν.
Dieses Gesetz stimmt bei niedrigen Frequenzen gut mit Messungen überein. Bei hohen Frequenzen sagt es aber eine immer weiter quadratisch anwachsende Energiedichte voraus. Über alle Frequenzen integriert müsste der Hohlraum dann unendlich viel Energie enthalten. Dieses falsche Ergebnis heißt Ultraviolett-Katastrophe.
Planck fand zunächst eine empirische Formel, die die gemessenen Spektralkurven über das ganze Frequenzspektrum korrekt beschrieb. Bei der theoretischen Begründung musste er annehmen, dass Energie bei jeder Frequenz nur in Vielfachen kleinster Einheiten abgegeben wird. Diese Einheiten haben die Größe hν. h ist eine fundamentale Naturkonstante, die Planck „elementares Wirkungsquantum“ nannte; heute heißt sie Planck-Konstante. Diese Annahme ist die Quantenhypothese.
Ein Oszillator der Frequenz ν braucht mindestens die Energie hν, um angeregt zu werden. Ist hν deutlich größer als die thermisch verfügbare Energie k_B T, wird der Zustand kaum oder gar nicht angeregt; er bleibt gewissermaßen eingefroren. Bei niedrigen Frequenzen ist hν klein genug, sodass die Zustände wie in der klassischen Theorie angeregt werden können.
Plancksches Gesetz
Mit der Quantenhypothese und der Bose-Einstein-Statistik ergibt sich für die mittlere Energie eines Schwingungszustands der Frequenz ν bei Temperatur T:
E(ν,T) = hν / (e^(hν/(k_B T)) - 1).
Für niedrige Frequenzen gilt hν << k_B T. Dann ist e^x - 1 ≈ x für sehr kleines x, und es folgt E(ν,T) ≈ k_B T. Damit erscheint wieder der klassische Grenzfall. Für hohe Frequenzen gilt hν >> k_B T; dann wird E(ν,T) sehr klein und geht schnell gegen Null.
Die Plancksche Energiedichte im Hohlraum entsteht als Produkt aus Zustandsdichte und mittlerer Energie je quantisiertem Schwingungszustand:
U_ν^0(ν,T) dν = (8πhν^3/c^3) · 1/(e^(hν/(k_B T)) - 1) dν.
Bei hohen Frequenzen nimmt die mittlere Energie stärker ab, als die Zustandsdichte anwächst. Deshalb steigt die spektrale Energiedichte zunächst an, erreicht ein Maximum und fällt danach wieder ab. Die Gesamtenergiedichte bleibt endlich. So erklärt Plancks Gesetz, warum die Ultraviolett-Katastrophe in Wirklichkeit nicht auftritt.
Für die spektrale Strahldichte an der Oberfläche eines Körpers wird die Energiedichte mit c/4π multipliziert:
L_ν(T) = (2hν^3/c^2) · 1/(e^(hν/(k_B T)) - 1).
Die unterschiedlichen Darstellungen des Gesetzes beschreiben dieselbe physikalische Aussage, aber mit verschiedenen Strahlungsgrößen, etwa Energiedichte, Strahldichte oder spezifische Ausstrahlung.
Temperatur, Maximum und Beispiele
Plancksche Strahlungsspektren haben eine typische Form: ein deutliches Maximum, einen steilen Abfall zu kurzen Wellenlängen und einen länger auslaufenden Abfall zu großen Wellenlängen. Nach dem Wienschen Verschiebungsgesetz verschiebt sich das Strahlungsmaximum bei steigender Temperatur zu kürzeren Wellenlängen. Zugleich wächst nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz die gesamte spezifische Ausstrahlung mit der vierten Potenz der absoluten Temperatur:
P = σ A T^4.
Dabei ist σ ≈ 5,67 · 10^−8 W/(m^2 K^4) die Stefan-Boltzmann-Konstante, A die Fläche und T die absolute Temperatur. Dieses starke Anwachsen erklärt, warum Wärmeabstrahlung bei höheren Temperaturen im Vergleich zur Wärmeabgabe durch Konvektion immer wichtiger wird.
Bei etwa 300 K, also typischen Umgebungstemperaturen, liegt das Maximum der Strahlungskurve bei 10 μm. Das gehört zum Mittleren Infrarot (MIR). In diesem Bereich findet der Strahlungsaustausch von Objekten auf Raumtemperatur statt; Infrarotthermometer für niedrige Temperaturen und Thermografiekameras arbeiten dort.
Bei 3000 K entspricht die Kurve ungefähr dem typischen Strahlungsspektrum einer Glühlampe. Ein Teil der Strahlung liegt bereits im sichtbaren Bereich, das Maximum liegt aber noch im Nahen Infrarot (NIR). Bei 5777 K, der Effektivtemperatur der Sonne, liegt das Strahlungsmaximum mitten im sichtbaren Spektralbereich. Die thermisch ausgestrahlte UV-Strahlung der Sonne wird zum größten Teil von der Ozonschicht der Erdatmosphäre ausgefiltert.
Formeln und Darstellungen
Das Plancksche Strahlungsgesetz kann in Frequenzdarstellung oder Wellenlängendarstellung geschrieben werden. Häufig verwendet wird die spektrale spezifische Ausstrahlung M_ν^0(ν,T) eines Schwarzkörpers der absoluten Temperatur T. Sie beschreibt die Strahlungsleistung eines Flächenelements dA in einem bestimmten Frequenzbereich in den gesamten Halbraum:
M_ν^0(ν,T) dA dν = (2πhν^3/c^2) · 1/(e^(hν/(k_B T)) - 1) dA dν.
In der Wellenlängendarstellung lautet die entsprechende Form:
M_λ^0(λ,T) dA dλ = (2πhc^2/λ^5) · 1/(e^(hc/(λ k_B T)) - 1) dA dλ.
Die Einheit von M_ν^0 ist W·m^−2·Hz^−1. Die Einheit von M_λ^0 ist W·m^−2·m^−1. Für die Umrechnung gilt λ = c/ν sowie |dλ| = (c/ν^2)|dν| und |dν| = (c/λ^2)|dλ|.
Für die spektrale Strahldichte L_ν^0 beziehungsweise L_λ^0 wird zusätzlich ein Raumwinkelelement dΩ betrachtet. Die Richtungsabhängigkeit entsteht nur durch den geometrischen Faktor cos(β); die spektrale Strahldichte selbst ist richtungsunabhängig.
Mit den Planckschen Strahlungskonstanten c_1 = 2πhc^2 und c_2 = hc/k_B kann die Wellenlängenform auch geschrieben werden als:
M_λ^0(λ,T) dA dλ = (c_1/λ^5) · 1/(e^(c_2/(λT)) - 1) dA dλ.
Integriert man die spektrale Strahldichte über alle Frequenzen oder Wellenlängen, erhält man die Gesamtstrahldichte. Die Integration über alle Richtungen eines Halbraums führt zur gesamten spezifischen Ausstrahlung M^0(T) dA = σ T^4 dA. Damit ergibt sich das Stefan-Boltzmann-Gesetz als Folge des Planckschen Strahlungsgesetzes.
