Schwarzer Körper

Grundidee und zentrale Gesetze

Ein Schwarzer Körper ist eine idealisierte thermische Strahlungsquelle. Er absorbiert alle auftreffende elektromagnetische Strahlung vollständig, unabhängig von ihrer Wellenlänge: Er lässt keine Strahlung durch und reflektiert oder streut nichts. Oberhalb des absoluten Nullpunkts sendet er Wärmestrahlung aus. Deren Intensität und spektrale Verteilung hängen ausschließlich von seiner Temperatur ab, nicht von Material, Form oder Oberflächeneigenschaften.

Die ausgesandte Strahlung heißt Schwarzkörperstrahlung; weil sie gut durch einen Hohlraum erzeugt werden kann, auch Hohlraumstrahlung. Ihre Strahldichte ist in allen Richtungen gleich; ein Schwarzer Körper ist somit ein Lambert-Strahler. Bei gleicher Fläche und Temperatur kann kein realer Körper in irgendeinem Wellenlängenbereich mehr thermische Strahlung aussenden als ein Schwarzer Körper.

Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt Intensität und Frequenzverteilung. Nach dem Wienschen Verschiebungsgesetz wandert das Maximum bei steigender Temperatur zu höheren Frequenzen und damit kürzeren Wellenlängen. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz beschreibt die gesamte abgegebene Energie: Sie ist proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur.

Beispiele: Bei 300 K beträgt die Strahlungsleistung etwa 460 W/m²; die Strahlung liegt für das Auge außerhalb des empfindlichen Bereichs, daher wirkt der Körper dunkel. Bei 5800 K, ungefähr der Temperatur der Sonnenoberfläche, sind es 64 MW/m²; ein großer Anteil ist sichtbar, der Körper erscheint weiß leuchtend. Abstrahlung bedeutet Energieverlust und Abkühlung, wobei in einer realen Umgebung auch die Einstrahlung aus der Umgebung berücksichtigt werden muss.

Bedeutung, ideale Verwirklichung und Anwendungen

Der Schwarze Körper ist eine Referenz für theoretische und praktische Untersuchungen elektromagnetischer Strahlung. Gustav Robert Kirchhoff prägte den Begriff 1860. Die theoretische Beschreibung der Schwarzkörperstrahlung war für die Quantenphysik entscheidend: Eine rein klassische Beschreibung führte im UV-Bereich zur Ultraviolett-Katastrophe. Max Planck löste dieses Problem 1900 mit der Annahme, dass Materie Strahlungsenergie nur in bestimmten Energiequanten aufnehmen und abgeben kann.

Ein idealer Schwarzer Körper ist materiell nicht herstellbar, weil kein bekanntes Material elektromagnetische Wellen bei allen Frequenzen vollständig absorbiert. Eine berußte Oberfläche besitzt im sichtbaren Bereich zwar einen Absorptionsgrad von etwa 0,96, aber nicht bei allen anderen Wellenlängen. Um die gewünschten Strahlungseigenschaften besser zu erreichen, verwendet man einen Hohlraumstrahler: etwa eine Hohlkugel oder einen einseitig offenen Hohlzylinder mit kleiner Öffnung. Einfallende Strahlung wird im Inneren vielfach reflektiert und dabei fast vollständig absorbiert; aus der Öffnung tritt nahezu nur thermische Strahlung aus. Schwarze, raue Innenwände unterstützen die Absorption.

Hochtemperaturstrahler bis 1800 K, also ungefähr 1500 °C, besitzen innen keramische Werkstoffe. Hohlkegel dienen als Absorptionskörper zur kalorimetrischen Messung von Laserleistung; sie erhöhen die Genauigkeit und vermeiden gefährliche Streustrahlung.

Weitere Anwendungen und Annäherungen sind Pyrometer in Brennöfen oder an Sacklöchern zur emissionsgradunabhängigen Temperaturmessung. Viele nichtmetallische Materialien haben oberhalb von etwa 3 bis 5 μm Emissionsgrade von 0,85 bis 0,95 und können bei niedrigen Temperaturen näherungsweise als Graue, bei geringeren Genauigkeitsansprüchen als Schwarze Körper gelten. Ruß erreicht je nach Konsistenz etwa 0,96. Menschliche Haut hat zwischen 2 und 14 μm einen Emissionsgrad von etwa 0,97 bis 0,98; ihr Emissionsmaximum bei Körpertemperatur liegt bei 9,4 μm. Die kosmische Hintergrundstrahlung entspricht sehr gut einer Schwarzkörperstrahlung von 2,725 ± 0,002 K. Sterne werden häufig durch Schwarze Körper angenähert.

Hohlraumstrahlung als universelle Strahlung

In einem evakuierten Hohlraum mit nichttransparenten Wänden konstanter Temperatur stellt sich ein thermisches Strahlungsgleichgewicht ein. Die Hohlraumstrahlung hängt nur von der Wandtemperatur ab, nicht vom Wandmaterial. Sie ist homogen, isotrop, unpolarisiert und unabhängig vom Hohlraumvolumen. Energiedichte und Spektrum sind mit der Schwarzkörperstrahlung vollständig äquivalent.

Dies lässt sich mit zwei verbundenen Hohlräumen gleicher Temperatur begründen: Lässt ein Filter nur die Frequenz ν passieren, dürfte bei unterschiedlicher spektraler Energiedichte netto Energie vom energiereicheren zum energieärmeren Hohlraum fließen. Dort würde dadurch die Temperatur steigen. Eine spontan entstehende Temperaturdifferenz widerspräche dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Deshalb müssen die spektralen Energiedichten gleich sein.

Die universelle spektrale Energiedichte lautet:

Uν(ν,T) = Uν⁰(ν,T) = (8πhν³/c³) · 1/(e^(hν/kT) − 1).

Uν⁰(ν,T) dV dν ist die elektromagnetische Energie im Volumenelement dV und im Frequenzbereich von ν bis ν + dν. Die Einheit von Uν⁰ ist J·m⁻³·Hz⁻¹. Dabei sind h das Plancksche Wirkungsquantum, c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und k die Boltzmann-Konstante. Die spektrale Strahldichte ist ebenfalls universell:

Lν(ν,T) = Lν⁰(ν,T) = (c/4π) Uν⁰(ν,T).

Ein in den Hohlraum gebrachter vollständig absorbierender Körper muss im Gleichgewicht bei jeder Frequenz und in jedem Raumwinkel genau so viel Energie abstrahlen, wie er aufnimmt. Seine Strahldichte ist daher richtungsunabhängig und identisch mit der Hohlraumstrahlung. Das begründet die Gleichwertigkeit von Hohlraum- und Schwarzkörperstrahlung.

Absorption, Emission und Wandmaterialien

Das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz verknüpft Aufnahme und Abgabe thermischer Strahlung. Hat ein Körper den gerichteten spektralen Absorptionsgrad a′ν(ν,β,φ,T), so absorbiert er aus der durch Polarwinkel β und Azimutwinkel φ beschriebenen Richtung diesen Anteil der auftreffenden Strahlung. Im Gleichgewicht gilt:

Lνᴷ(ν,T) = a′ν Lν⁰(ν,T).

Ein Körper strahlt also bei jeder Frequenz und in jedes Raumwinkelelement genau die Leistung ab, die er dort aus Schwarzkörperstrahlung absorbiert. Da für den Emissionsgrad εν′ gilt

Lνᴷ(ν,T) = εν′ Lν⁰(ν,T)

und 0 ≤ εν′ ≤ 1, folgt: εν′ = aν′. Ein guter Absorber ist somit auch ein guter Emitter. Der Schwarze Körper hat aν′ = 1 und den Emissionsgrad 1.

Auch Hohlraumwände mit geringem Emissionsgrad erzeugen im Gleichgewicht ein Plancksches Spektrum. Hat eine Wand beispielsweise den Emissionsgrad 0,7, absorbiert sie 70 % der einfallenden Hohlraumstrahlung und reflektiert den Rest. Ist die Energiedichte zunächst zu gering, emittiert die Wand mehr, als sie absorbiert; die Energiedichte steigt bis zum Gleichgewichtswert. Bei Wellenlängen mit geringer eigener Emission reflektiert die Wand mehr Hohlraumstrahlung. Diese Reflexion gleicht die materialabhängigen Emissionsmerkmale aus.

Der Emissionsgrad einer realen Oberfläche ist das Verhältnis ihrer thermischen Strahlungsintensität zu jener eines Schwarzen Körpers gleicher Temperatur. Er liegt zwischen 0 und 1 und ist meist von Wellenlänge und Ausstrahlrichtung abhängig. Ein Grauer Körper hat bei allen Frequenzen denselben Emissionsgrad; ein Lambert-Strahler besitzt einen richtungsunabhängigen Emissionsgrad. Der Schwarze Körper dient deshalb unter anderem zur Kalibrierung von Pyrometern.

Thermodynamik der Hohlraumstrahlung

Ein Hohlraum mit Wänden der einheitlichen Temperatur T kann als thermodynamisches System betrachtet werden. Mit Volumen V, innerer Energie U und Druck p gilt für die Strahlung:

p(U,V) = U/(3V), U(T,V) = bVT⁴,

mit b = 4σ/c = 7,5657·10⁻¹⁶ J·m⁻³·K⁻⁴. σ ist die Stefan-Boltzmann-Konstante. Als Photonengas besitzt das System wegen der verschwindenden Ruhemasse der Photonen keine feste Teilchenzahl; sein chemisches Potential ist Null.

Die Temperatur als Funktion von U und V ist T(U,V) = b⁻¹⁄⁴(U/V)¹⁄⁴. Aus der Eulergleichung TS = U + pV folgt für die Entropie:

S(U,V) = (4/3)b¹⁄⁴U³⁄⁴V¹⁄⁴.

Umgekehrt lautet die Fundamentalgleichung:

U(S,V) = ((3/4)S)⁴⁄³(bV)⁻¹⁄⁴.

Für die Dynamik heißer massereicher Sterne ist die Adiabatengleichung pV⁴⁄³ = const. mit dem Adiabatenexponenten γ = 4/3 wichtig. Als Größenordnung: Bei 293 K beträgt die Energiedichte 5,57e⁻⁶ J/m³, der Druck 1,86e⁻⁶ Pa, die Ausstrahlung 417 W/m² und λmax 10,61 μm. An der Sonnenoberfläche bei 5772 K sind es 0,839 J/m³, 0,280 Pa, 6,29e⁷ W/m² und λmax 0,502 μm.

Farbe, Farbtemperatur und Effektivtemperatur

Das Wort „schwarz“ bezieht sich beim Schwarzen Körper auf das gesamte elektromagnetische Spektrum, nicht allein auf sichtbares Licht. Ein kalter Schwarzer Körper wirkt tatsächlich schwarz. Ein sichtbar schwarzer Gegenstand kann im Infrarot aber schlecht absorbieren und emittieren; umgekehrt können weiße Farbe und Fensterglas im mittleren Infrarot hohe Emissionsgrade haben. Schnee und Eis reflektieren sichtbares Licht von 400–750 nm stark, erscheinen im nahen und fernen Infrarot aber fast schwarz. Eine auf metallisch polierte Oberflächen geklebte Klarsichtfolie kann diese im Infrarot fast schwarz erscheinen lassen.

Die Farbtemperatur beschreibt den Farbton einer Lichtquelle als Temperatur eines vergleichbaren Schwarzen Körpers. Mit steigender Temperatur verschiebt sich das Maximum zu kürzeren Wellenlängen und der Eindruck geht von Rot zu bläulich-weiß. Glühlampen mit 2700 bis 2800 K und Halogenlampen mit 3100 bis 3200 K haben ihr Maximum im nahen Infrarot; ihr sichtbarer Anteil wirkt gelblich. Bei etwa 5500 K liegt das Maximum im sichtbaren Bereich und entspricht ungefähr hellem Sonnenlicht am klaren Himmel. Bei noch höheren Temperaturen liegt es zunächst im Ultravioletten und später im Bereich der Röntgenstrahlung. Bei hohen Temperaturen verändert weiteres Erwärmen die relative Verteilung im sichtbaren Bereich kaum noch; der Eindruck bleibt weiß. In der CIE-Normfarbtafel endet die Black-body-Kurve bei der Farbtemperatur „unendlich“ in einem sehr ungesättigten violettstichigen Farbton.

Die Effektivtemperatur ist die Temperatur, die ein Schwarzer Körper nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz haben müsste, um dieselbe Leistung pro Flächeneinheit auszustrahlen wie ein gegebener Strahler. Sie ist besonders bei Sternen und Glühwendeln sinnvoll; für die Sonne beträgt sie 5777 K. Je weniger ein realer Strahler einem Schwarzen Körper ähnelt, desto stärker kann sie von seiner tatsächlichen Temperatur abweichen. Bei Lichtquellen mit ausgeprägtem Linienspektrum, etwa Leuchtstofflampen oder Polarlichtern, verwendet man stattdessen die Farbtemperatur.