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Normale Familie
In der Mathematik sind normale Familien vor allem in der Funktionentheorie und der komplexen Dynamik von Bedeutung. Allgemeine Definition.
Definition einer normalen Familie
Seien X und Y vollständige metrische Räume. Eine Menge F stetiger Funktionen f: X → Y heißt normale Familie, wenn jede Folge in F eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt. Die Grenzfunktion f∞ ist dabei automatisch stetig.
Kompakte Konvergenz bedeutet: Zu jeder Folge (fₙ)ₙ in F gibt es eine Teilfolge (fₙₖ)ₖ mit limₖ→∞ supₓ∈K dY(fₙₖ(x), f∞(x)) = 0 für alle kompakten Teilmengen K ⊂ X. Dabei wird die maximale Abweichung der Funktionen auf jeder kompakten Teilmenge betrachtet; diese Abweichung geht gegen null.
Normale Familien in der Funktionentheorie
In der Funktionentheorie ist X im Allgemeinen ein Gebiet in ℂ, also ein zusammenhängender offener Bereich, und Y die Riemannsche Zahlenkugel mit der chordalen Metrik. Normale Familien sind besonders für die Funktionentheorie und die komplexe Dynamik wichtig.
Nach dem Weierstraßschen Konvergenzsatz ist der Grenzwert einer kompakt konvergenten Folge holomorpher Funktionen wieder holomorph oder konstant gleich ∞.
Der kleine Satz von Montel besagt: Jede lokal gleichmäßig beschränkte Familie holomorpher Funktionen ist normal. Lokal gleichmäßig beschränkt bedeutet, dass die Funktionen in einem lokalen Bereich durch eine gemeinsame Schranke begrenzt werden.
Der große Satz von Montel liefert ein weiteres Kriterium. Eine Familie holomorpher Funktionen ist normal, wenn es zwei verschiedene komplexe Zahlen a, b ∈ ℂ mit a ≠ b gibt, sodass keine Funktion der Familie den Wert a oder den Wert b annimmt.