Newtonsche Ungleichungen

Die newtonschen Ungleichungen beschreiben eine Beziehung zwischen den elementarsymmetrischen Mitteln reeller Zahlen. Sie zeigen, dass aufeinanderfolgende dieser Mittel in einer bestimmten Weise zusammenhängen.

Seien a₁, …, aₙ reelle Zahlen. Das k-te elementarsymmetrische Polynom σₖ ist die Summe aller Produkte von jeweils k verschiedenen Zahlen:

σₖ = ∑{S ⊆ {1, …, n}, |S| = k} ∏{i ∈ S} aᵢ.

Insbesondere gilt σ₁ = a₁ + … + aₙ und σₙ = a₁ · … · aₙ. Aus diesen Polynomen werden die elementarsymmetrischen Mittel gebildet:

Sₖ = σₖ / binom(n, k),

wobei binom(n, k) die Anzahl der Teilmengen mit k Elementen bezeichnet.

Für jede ganze Zahl k mit 0 < k < n gilt die newtonsche Ungleichung

Sₖ₋₁ · Sₖ₊₁ ≤ Sₖ².

Das Quadrat des mittleren elementarsymmetrischen Mittels ist also mindestens so groß wie das Produkt der beiden benachbarten elementarsymmetrischen Mittel.

Sind alle aᵢ ungleich Null, gilt Gleichheit genau dann, wenn alle aᵢ gleich sind. Dabei ist S₁ das arithmetische Mittel der Zahlen. Sₙ entspricht der n-ten Potenz des geometrischen Mittels der aᵢ.