Michaelis-Menten-Theorie

Grundprinzip der Michaelis-Menten-Kinetik

Die Michaelis-Menten-Kinetik beschreibt vereinfachend, wie Enzyme Reaktionen beschleunigen: Ein freies Enzym E bindet sein Substrat S zunächst reversibel. Es entsteht der Enzym-Substrat-Komplex ES. In diesem gebundenen Zustand wird das Substrat zum Produkt P umgewandelt; anschließend liegt das Enzym wieder frei vor.

Der ausführlichere Reaktionsweg lautet: E + S ⇌ ES ⇌ EP ⇌ P + E. Die Geschwindigkeitskonstanten k₁ und k′₁ beschreiben die Zusammenlagerung von E und S beziehungsweise den Zerfall von ES. k₂ und k′₂ stehen für Produktbildung beziehungsweise Rückreaktion zum Substrat. k₃ und k′₃ beschreiben die Dissoziation und Assoziation eines Enzym-Produkt-Komplexes.

Unter Bedingungen der Enzymkinetik ist die Produktkonzentration [P] klein; die Rückreaktion vom Produkt wird daher vernachlässigt. Meist ist außerdem k′₂ viel kleiner als k₃. Das Schema wird dann zu: E + S ⇌ ES → P + E. Das System kann durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden. Unter [E] >> [S] oder [S] >> [E] ist es näherungsweise analytisch lösbar, sonst numerisch.

Fließgleichgewicht als Voraussetzung

Die Michaelis-Menten-Kinetik gilt unter der Annahme eines Fließgleichgewichts („steady state“). Enzyme können schwankende Substratkonzentrationen sehr schnell ausgleichen, indem sie ihre Tätigkeit dem Angebot anpassen.

Im Fließgleichgewicht bleibt die Konzentration des Enzym-Substrat-Komplexes [ES] auf der langsameren Zeitskala der Produktbildung konstant. Mathematisch gilt: d[ES]/dt = 0. Die Annahme des Fließgleichgewichts mit konstantem [ES] wurde von G. E. Briggs und John Burdon Sanderson Haldane entwickelt.

Geschwindigkeit, Michaeliskonstante und Wechselzahl

Die initiale Reaktionsgeschwindigkeit v₀ bei einer Substratkonzentration [S] wird durch die Michaelis-Menten-Gleichung beschrieben:

v₀ = (vmax · [S])/(Km + [S])

vmax ist die maximale Reaktionsgeschwindigkeit. Km, die Michaeliskonstante, ist eine Kenngröße der jeweiligen enzymatischen Reaktion. Sie gibt die Substratkonzentration an, bei der die Umsatzgeschwindigkeit halbmaximal ist: v = ½ · vmax. Dieser Zustand heißt Halbsättigung.

In der Briggs-Haldane-Situation gilt, wenn k₂ gegenüber k₁ nicht vernachlässigt werden kann: Km = (k′₁ + k₂)/k₁. Im Spezialfall der Michaelis-Menten-Situation mit k₂ << k′₁ vereinfacht sich dies zu Km = k′₁/k₁. Dann entspricht Km der Dissoziationskonstante des Enzym-Substrat-Komplexes und kann als Maß für die Affinität des Enzyms zum Substrat betrachtet werden.

Die Wechselzahl kcat, auch molekulare Aktivität oder „turnover number“, fasst die Geschwindigkeit aller Schritte vom Enzym-Substrat-Komplex zu freiem Enzym und Produkt zusammen. Bei nur einem chemischen Schritt zur Produktbildung entspricht kcat dem Wert k₂. Es gilt: v = d[P]/dt = kcat[ES] sowie kcat = vmax/([E] + [ES]).

Vereinfachte Herleitung

Die Gleichung kann aus dem Massenwirkungsgesetz und dem Fließgleichgewicht hergeleitet werden. Dabei werden verwendet:

• Km = [E][S]/[ES]
• [E] = [E]₀ − [ES], wobei [E]₀ die als konstant angenommene Gesamtkonzentration des Enzyms mit oder ohne gebundenes Substrat ist.
• vmax/v = [E]₀/[ES]

Setzt man diese Beziehungen in die Formel für Km ein und formt um, erhält man: v = (vmax · [S])/(Km + [S]). Die Herleitung benötigt weder die Lösung von Differentialgleichungen noch die ausdrückliche Betrachtung aller Geschwindigkeitskonstanten ki und k′i.

Sie macht auch deutlich: Bei gegebenem Zähler [E][S] bedeutet ein größerer Nenner [ES] einen kleineren Km-Wert. Deshalb steht ein kleiner Km-Wert für eine hohe Affinität des Enzyms zum Substrat. Zudem hat Km die Dimension einer Konzentration.

Sättigung und Auswertung der Kurve

Anders als bei unkatalysierten Reaktionen kann die Umsatzgeschwindigkeit enzymatischer Reaktionen bei sehr hoher Substratkonzentration nicht unbegrenzt steigen. Sie nähert sich dem Maximalwert vmax an; das Enzym ist gesättigt. Die Beziehung v = (vmax · [S])/(Km + [S]) ist die Gleichung einer Hyperbel. Ihre waagerechte Asymptote hat den Wert vmax.

Bei [S] = Km gilt v = ½vmax. Dann liegt die Hälfte des insgesamt vorhandenen Enzyms als ES und die andere Hälfte frei vor: [ES] = [E] = ½[E]₀.

Allgemein gilt bei [S] = a · Km mit 0 < a: v beträgt den Anteil a/(a + 1) von vmax; [ES] beträgt ebenfalls a/(a + 1) von [E]₀, während freies Enzym [E] den Anteil 1/(a + 1) von [E]₀ ausmacht. Da die Sättigung asymptotisch erreicht wird, sind dafür Substratkonzentrationen von mehr als dem zehnfachen Km-Wert erforderlich. Aus einer gemessenen Sättigungshyperbel lassen sich vmax als Aktivität und Km als reziproke Affinität ableiten.

Inhibitoren hemmen enzymatische Reaktionen, Aktivatoren erhöhen die Enzymaktivität. Kompetitive Inhibitoren erhöhen Km, ohne vmax zu verändern. Unkompetitive Inhibitoren binden spezifisch an ES und senken vmax sowie den scheinbaren Km-Wert. Inhibitoren vom Mischtyp erhöhen Km und verringern vmax. Nichtkompetitive Inhibitoren sind ein Sonderfall: Sie senken nur vmax, während Km unverändert bleibt; bei Einsubstrat-Enzymen kommt dieser Typus nicht vor.