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Leibniz-Reihe
Mit ihr wird nicht zuletzt die Kreiszahl π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } mit der Reihenlehre verbunden. Diese Reihe wurde von Gottfried Wilhelm …
Inhalt5 Abschnitte
Grundidee und Formel
Die Leibniz-Reihe ist eine alternierende Reihe, also eine unendliche Summe mit wechselnden Plus- und Minuszeichen. Sie verbindet die Reihenlehre mit der Kreiszahl π:
∑ₖ₌₀^∞ (-1)ᵏ/(2k+1) = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − … = π/4.
Ihre Konvergenz, also die Annäherung der Partialsummen an einen festen Grenzwert, folgt unmittelbar aus dem Leibniz-Kriterium. Die Konvergenz ist logarithmisch und daher sehr langsam.
Herleitung über ein Integral
Für jedes k gilt 1/(2k+1) = ∫₀¹ x²ᵏ dx. Damit lässt sich die Reihe in ein Integral umformen:
∑ₖ₌₀^∞ (-1)ᵏ/(2k+1) = ∫₀¹ [∑ₖ₌₀^∞ (-x²)ᵏ] dx.
Die Summe in der Klammer ist eine geometrische Reihe. Sie ergibt 1/(1+x²). Daher gilt:
∫₀¹ 1/(x²+1) dx = [arctan(x)]₀¹ = arctan(1) = π/4.
So folgt die Leibniz-Formel aus der geometrischen Reihe und dem Integral der Funktion 1/(1+x²).
Fehler und langsame Annäherung
Nach n Summanden ist das Restglied, also der Fehler gegenüber π/4,
Rₙ = ∑ₖ₌₀ⁿ⁻¹ (-1)ᵏ/(2k+1) − π/4 = −∑ₖ₌ₙ^∞ (-1)ᵏ/(2k+1).
Nach der Fehlerabschätzung des Leibniz-Kriteriums gilt |Rₙ| ≤ 1/(2n+1); genauer sogar |Rₙ| < 1/(4n). Mit n Summanden erhält man s Nachkommastellen mit einem Fehler kleiner als 0,5 in der s-ten Nachkommastelle, wobei s(n) = lg(2n) ist. Umgekehrt werden für s sinnvolle Nachkommastellen ungefähr n(s) = 1/2 · 10ˢ Summanden benötigt.
Für π gilt π = 4 · ∑ₖ₌₀^∞ (-1)ᵏ/(2k+1). Die mit 4 multiplizierten Partialsummen nähern sich π abwechselnd von unten und oben an. Beispielsweise liefert n = 1 000 000 den Wert 3,1415916535897930 beziehungsweise bei Einbezug des nächsten Terms 3,1415936535887932; ihr Mittelwert ist 3,1415926535892931. Die Reihe ist deshalb auch nach Umformungen nicht zur effizienten Berechnung von π geeignet.
Beschleunigte Reihe
Die Eulersche Reihentransformation liefert aus der Leibniz-Reihe eine schneller konvergierende Reihe:
π/4 = 1/2 · (1 + 1/(1·3) + (1·2)/(1·3·5) + … + (1·2·…·n)/(1·3·5·…·(2n+1)) + …).
Analoge Reihen
Ein bekanntes Analogon ist die alternierende harmonische Reihe:
∑ₖ₌₀^∞ (-1)ᵏ/(k+1) = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … ≈ 0,6931471805599453 = ln(2).
Sie entsteht analog durch ∫₀¹ 1/(x+1) dx.
Ein kubisches Analogon lautet:
∑ₖ₌₀^∞ (-1)ᵏ/(3k+1) = 1 − 1/4 + 1/7 − 1/10 + … ≈ 0,835648848264721 = (√3/9)π + (1/3)ln(2).
Ein quartisches Analogon lautet:
∑ₖ₌₀^∞ (-1)ᵏ/(4k+1) = 1 − 1/5 + 1/9 − 1/13 + … ≈ 0,866972987339911 = (√2/8)π + (√2/4)arsinh(1).
Auch diese Herleitungen beruhen darauf, die Summanden als Integrale zu schreiben und die dabei auftretende geometrische Reihe zu einer gebrochen-rationalen Funktion zusammenzufassen.