Kegelförmige Umgebung

Grundidee und Bedeutung

Eine kegelförmige Umgebung ist eine Umgebung eines Vektors, die die Form eines Kegels hat. Sie wird besonders in der mikrolokalen Analysis verwendet. Dort hilft sie, Richtungen zu beschreiben, in denen bei Funktionen oder Distributionen Singularitäten auftreten. Auf dieser Grundlage werden unter anderem elliptische Pseudodifferentialoperatoren und die Wellenfrontmenge definiert.

Kegelförmige Mengen und Umgebungen

Eine Menge K ⊂ ℝⁿ \ {0} heißt kegelförmig, wenn mit jedem r ∈ K auch jedes positive Vielfache λr in K liegt, also λr ∈ K für alle λ > 0. Die Menge bleibt damit unverändert, wenn ihre Punkte entlang ihrer vom Nullpunkt ausgehenden Halbgeraden positiv skaliert werden.

Dies lässt sich analog auch für Teilmengen eines topologischen Vektorraums definieren. Eine kegelförmige Menge K heißt kegelförmige Umgebung eines Punktes x ∈ K, wenn es eine offene Menge U ⊂ K mit x ∈ U gibt. Für eine Teilmenge S ⊆ K gilt entsprechend: K ist eine kegelförmige Umgebung von S, wenn eine offene Menge U ⊂ K existiert, die S enthält. Offenheit ist dabei relativ zu K gemeint: K ist eine Umgebung des Punktes beziehungsweise der Menge innerhalb von K.

Überdeckung durch Kegel

Sei (Uᵢ)ᵢ eine offene Überdeckung der (n−1)-Einheitssphäre. Dann bilden die Mengen

(Cᵢ)ᵢ = ({x ∈ ℝⁿ \ {0}; x/|x| ∈ Uᵢ})ᵢ

eine Überdeckung von ℝⁿ \ {0} durch kegelförmige Mengen. Hier wird jedem von null verschiedenen Vektor x seine Richtung x/|x| auf der Einheitssphäre zugeordnet. Gehört diese Richtung zu Uᵢ, so gehört x zu Cᵢ.

Da die Uᵢ die gesamte Einheitssphäre überdecken, liegt jeder Punkt x ∈ ℝⁿ \ {0} in mindestens einer solchen Menge Cᵢ. Die Konstruktion liefert somit für jeden dieser Punkte mindestens eine kegelförmige Umgebung.

Richtungen von Singularitäten

Kegelförmige Mengen bestehen aus Halbgeraden in ℝⁿ, die im Nullpunkt des Koordinatensystems beginnen. Kegelförmige Umgebungen enthalten im Unterschied zu kegelförmigen Mengen immer offene Teilmengen und haben daher ein Lebesgue-Maß ungleich Null.

In der mikrolokalen Analysis beschreiben die Halbgeraden einer kegelförmigen Umgebung Richtungen im Definitionsbereich einer Funktion f: ℝⁿ → ℝ. Das ist wichtig, um Singularitäten einer Distribution genauer zu untersuchen. Singuläre Punkte einer Distribution sind Punkte, für die keine Umgebung existiert, sodass die Distribution mittels des L²-Skalarprodukts als Integral ausgedrückt werden kann.

Für eine Distribution mit kompaktem Träger u ∈ 𝓔'(U), U ⊂ ℝⁿ, gilt nach einer Variante des Satzes von Paley-Wiener: u kann genau dann mit einer glatten Funktion identifiziert werden, also regulär sein, wenn

|𝓕(u)| ≤ C_N(1+|q|)^(−N)

für alle N ∈ ℕ gilt. Dabei ist 𝓕 die Fourier-Laplace-Transformation.

Analog wird für u eine kegelförmige Umgebung Σ(u) eingeführt. Sie enthält genau die η ∈ ℝⁿ \ {0}, für die es keine kegelförmige Umgebung gibt, auf der die genannte Abschätzung für |𝓕(u)| gilt. Σ(u) ist eine abgeschlossene kegelförmige Menge. Sie ist genau dann leer, wenn u durch eine glatte Funktion dargestellt werden kann. Der singuläre Träger gibt den Ort einer Singularität an; Σ(u) zeigt dagegen die Richtung der Störung.

Topologische Kegel

In einem topologischen Raum Y heißt eine kegelförmige Umgebung eines Punktes p eine offene Menge U mit p ∈ U, die punktiertisomorph zu einem topologischen Kegel cZ über einem topologischen Raum Z ist. Dabei wird p auf die Spitze des Kegels abgebildet.