Inverser Satz des Pythagoras

Aussage und Bedeutung

Der inverse oder reziproke Satz des Pythagoras ist eine Aussage der euklidischen Geometrie über ebene rechtwinklige Dreiecke. Sind a und b die Längen der Katheten, die sich in der Ecke C unter einem rechten Winkel treffen, und ist h die Höhe von C auf die Hypotenuse, dann gilt:

1/a² + 1/b² = 1/h²

Damit ist die Summe der inversen Kathetenquadrate gleich dem inversen Höhenquadrat über der Hypotenuse. Der Satz unterscheidet sich vom Satz des Pythagoras a² + b² = c² dadurch, dass nicht die Kathetenquadrate selbst, sondern ihre Inversen addiert werden.

Beweis über die Fläche

Die Fläche F des rechtwinkligen Dreiecks kann auf zwei Arten als halbe Rechtecksfläche angegeben werden: mit den Seiten a und b oder mit der Hypotenuse c und der Höhe h. Deshalb gilt:

F = ab/2 = ch/2 → ab = ch

Zusätzlich gilt nach dem Satz des Pythagoras a² + b² = c². Damit lässt sich die linke Seite des inversen Satzes umformen:

1/a² + 1/b² = (b² + a²)/(ab)² = c²/(ch)² = 1/h².

Damit ist die behauptete Gleichung bewiesen.

Geometrischer Beweis

Bei der geometrischen Herleitung werden weitere Dreiecke betrachtet. Aus der Ähnlichkeit der dargestellten Dreiecke, die jeweils in einem rechten und einem weiteren Winkel übereinstimmen, folgen die Seitenverhältnisse

r/h = h/a → r = h²/a

und

s/h = h/b → s = h²/b.

Diese Beziehungen ergeben sich auch durch Anwendung des Kathetensatzes auf die Dreiecke CBD beziehungsweise ACD. Für die entstehenden Strecken gilt außerdem r² + s² = h². Einsetzen der Ausdrücke für r und s liefert:

h⁴/a² + h⁴/b² = h² = h⁴/h².

Nach Division durch h⁴ auf beiden Seiten erhält man:

1/a² + 1/b² = 1/h².

Anwendung mit Lampen

Stehen zwei identische Lampen in den Ecken A und B eines rechtwinkligen Dreiecks, ist die am Punkt C empfangene Lichtmenge nach diesem Satz und dem Abstandsquadratgesetz genauso groß wie bei nur einer Lampe im Fußpunkt D der Höhe. Diese Betrachtungsweise wird bei der geometrischen Lösung des Basler Problems genutzt.