Homologietheorie

Grundidee der Homologie

Homologie ist ein Verfahren der algebraischen Topologie. Es ordnet einem topologischen Raum eine Folge abelscher Gruppen zu, die Homologiegruppen heißen. Damit lassen sich Eigenschaften eines Raumes algebraisch beschreiben: Homologie formalisiert etwa ein „Loch“ eines Torus und kann Auskunft über Zusammenhang oder Orientierbarkeit geben.

Homologie ist eine topologische Invariante. Sie hilft also dabei, bestimmte topologische Räume voneinander zu unterscheiden. Es gibt verschiedene Berechnungsarten, etwa simpliziale, singuläre und zelluläre Homologie; sie liefern die gleichen Homologiegruppen. Deshalb kann man sinnvoll von der Homologie eines Raumes sprechen.

Auch Objekten, die keine topologischen Räume sind, kann Homologie zugeordnet werden. Gemeinsame Grundlage aller Homologietheorien sind Kettenkomplexe: Folgen algebraischer Objekte und Abbildungen, aus denen die Homologiegruppen berechnet werden.

Kettenkomplex und Homologiegruppen

Einem mathematischen Objekt X wird zunächst ein Kettenkomplex zugeordnet. Dieser besteht aus Moduln A₀, A₁, … über einem festen Ring und Homomorphismen

dₙ: Aₙ → Aₙ₋₁.

Dabei muss für jedes n gelten:

dₙ ∘ dₙ₊₁ = 0.

Die Hintereinanderausführung zweier aufeinanderfolgender Abbildungen ist also immer die Nullabbildung. Gleichwertig dazu ist: Das Bild von dₙ₊₁ liegt im Kern von dₙ.

Die n-te Homologiegruppe ist der Quotientenmodul

Hₙ(X) = ker(dₙ) / im(dₙ₊₁).

Der Kern ker(dₙ) enthält die Elemente ohne Rand unter dₙ; im(dₙ₊₁) enthält diejenigen Elemente, die selbst als Rand eines nächsthöheren Elements entstehen. Die Homologie unterscheidet somit zwischen „randlosen“ Elementen und solchen, die bereits Ränder sind.

Ein Kettenkomplex heißt exakt, wenn stets im(dₙ₊₁) = ker(dₙ) gilt. Seine Homologiegruppen messen daher, wie unexakt der dem Objekt X zugeordnete Kettenkomplex ist.

Topologische und algebraische Beispiele

Bei der simplizialen Homologie eines simplizialen Komplexes X ist Aₙ der freie Modul über den n-dimensionalen orientierten Simplizes von X. Ein Simplex mit Ecken

(a[0], a[1], …, a[n])

wird durch die Randabbildung auf die alternierende Summe seiner Randflächen abgebildet:

∑ᵢ₌₀ⁿ (−1)ⁱ(a[0], …, a[i−1], a[i+1], …, a[n]).

Sind die Moduln Vektorräume über einem Körper, dann beschreibt die Dimension der n-ten Homologiegruppe die Anzahl der n-dimensionalen Löcher von X.

Für jeden topologischen Raum kann man einen solchen Kettenkomplex bilden: Aₙ ist dann der freie Modul über allen stetigen Abbildungen vom n-dimensionalen Einheitssimplex nach X. Die Homomorphismen dₙ entstehen aus den simplizialen Randabbildungen.

In der homologischen Algebra dienen Homologiegruppen zur Definition abgeleiteter Funktoren. Zu einem additiven Funktor F und einem Modul X wählt man freie Moduln F₁, F₂, … sowie Epimorphismen p₁: F₁ → X und p₂: F₂ → ker p₁, entsprechend fortgesetzt. Nach Anwendung von F entsteht ein Kettenkomplex. Dessen n-te Homologie hängt nur von F und X ab, wird als DⁿF(X) geschrieben und heißt n-ter abgeleiteter Funktor von F.

Homologie als Funktor und Abgrenzung zur Kohomologie

Kettenkomplexe bilden eine Kategorie. Eine Kettenabbildung von (Aₙ, dₙᴬ) nach (Bₙ, dₙᴮ) ist eine Folge von Modulhomomorphismen fₙ: Aₙ → Bₙ mit

fₙ₋₁ ∘ dₙᴬ = dₙᴮ ∘ fₙ

für jedes n. Die n-te Homologiegruppe Hₙ ist damit ein Funktor von der Kategorie der Kettenkomplexe in die Kategorie der Moduln über dem zugrunde liegenden Ring R.

Hängt der Kettenkomplex funktoriell von X ab, induziert also jeder Morphismus X → Y eine Kettenabbildung, dann ist Hₙ auch ein Funktor von der Kategorie der Objekte X in die Kategorie der Moduln.

Bei der Kohomologie hängen die Kettenkomplexe kontravariant von X ab. Die entstehenden Kohomologiegruppen werden in diesem Zusammenhang Hⁿ genannt und sind kontravariante Funktoren. Außerdem besitzt die graduierte Kohomologiegruppe meist eine kanonische Ringstruktur; auf dem Niveau der Homologie gibt es nichts Vergleichbares.

Euler-Charakteristik und exakte Sequenzen

Sind alle Aₙ endlich erzeugte freie Moduln und nur endlich viele von ihnen von null verschieden, ist die Euler-Charakteristik definiert durch

χ = ∑(−1)ⁿ rank(Aₙ).

Sie lässt sich ebenso mit den Homologiegruppen berechnen:

χ = ∑(−1)ⁿ rank(Hₙ).

In der algebraischen Topologie erhält man damit zwei Wege, die Invariante χ eines Objekts X zu berechnen: aus seinem Kettenkomplex oder aus seiner Homologie.

Eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen

0 → A → B → C → 0

führt zu einer langen exakten Sequenz von Homologiegruppen:

… → Hₙ(A) → Hₙ(B) → Hₙ(C) → Hₙ₋₁(A) → Hₙ₋₁(B) → Hₙ₋₁(C) → Hₙ₋₂(A) → …

Die meisten Abbildungen darin werden durch die Abbildungen der Kettenkomplexe induziert. Die Abbildungen Hₙ(C) → Hₙ₋₁(A) heißen verbindende Homomorphismen; ihre Existenz wird mit dem Schlangenlemma bewiesen.