Glaubwürdigkeitsintervall

Grundidee

Ein Glaubwürdigkeitsintervall, auch Kredibilitätsintervall genannt, ist in der bayesschen Statistik das Gegenstück zum Konfidenzintervall der frequentistischen Statistik. Es wird aus der A-Posteriori-Verteilung abgeleitet, also aus der Verteilung des unbekannten Parameters nach Berücksichtigung der Daten. Ein Glaubwürdigkeitsintervall zum Niveau γ besagt, dass der unbekannte Parameter ϑ mit Wahrscheinlichkeit γ in diesem Intervall liegt.

Definition

Für ein fest vorgegebenes γ ∈ (0,1) ist ein γ · 100-%-Glaubwürdigkeitsintervall für ϑ durch zwei reelle Zahlen t_l und t_u bestimmt. Sie müssen folgende Bedingung erfüllen:

∫_{t_l}^{t_u} f(ϑ | x) dϑ = γ

Dabei bezeichnet f(ϑ | x) die A-Posteriori-Verteilung. Die Fläche unter ihrer Dichte zwischen t_l und t_u beträgt somit γ.

Konstruktion über Quantile

Eine einfache Konstruktion verteilt die Wahrscheinlichkeitsanteile außerhalb des Intervalls symmetrisch auf die beiden Ränder der A-Posteriori-Verteilung. Dazu wird t_l als das (1 − γ)/2-Quantil und t_u als das (1 + γ)/2-Quantil der A-Posteriori-Verteilung gewählt. Für die Berechnung müssen daher die Quantile dieser Verteilung bestimmt werden. Das resultierende Intervall muss nicht symmetrisch um einen Schätzwert liegen.

Unterschied zum Konfidenzintervall

Da ϑ | x als Zufallsvariable betrachtet wird, kann man sagen, dass ϑ | x mit Wahrscheinlichkeit γ in einem γ · 100-%-Glaubwürdigkeitsintervall liegt. Ein Konfidenzintervall hat dagegen eine andere Bedeutung: Wird dasselbe Zufallsexperiment unter identischen Bedingungen wiederholt, dann überdecken γ · 100-%-Konfidenzintervalle in γ · 100 % aller Fälle den unbekannten Parameter ϑ.