Gegeninduktion

Begriff und Bedeutung

Gegeninduktion oder induktive Kopplung ist die gegenseitige magnetische Beeinflussung von zwei oder mehr räumlich benachbarten elektrischen Stromkreisen. Ändert sich der magnetische Fluss, entsteht durch elektromagnetische Induktion in einem benachbarten Stromkreis eine Spannung.

Der Effekt bildet die Grundlage technischer Geräte wie des Transformators. Er kann aber auch unerwünscht sein, besonders bei der elektromagnetischen Verträglichkeit (EMV), weil benachbarte Stromkreise einander stören können.

Die Gegeninduktivität beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Strom I in einem Stromkreis 1 und dem dadurch hervorgerufenen magnetischen Fluss Φ in einem Stromkreis 2. In magnetisierbaren Stoffen wie Eisen muss dieser Zusammenhang nicht linear sein. Sind Stromkreis 1 und Stromkreis 2 identisch, liegt als Spezialfall die Selbstinduktivität vor. Verwandte Kopplungsarten sind die kapazitive Kopplung, die galvanische Kopplung und die Strahlungskopplung.

Physikalisches Prinzip

Zur allgemeinen Beschreibung werden Leiterschleifen betrachtet. Sie dürfen beliebig geformt sein und ineinanderragen. Eine einzelne Schleife wird als unendlich dünne Linie behandelt; dickere Drähte und Spulen lassen sich als Summe vieler dünner Einzelschleifen modellieren.

Ein stromdurchflossener Leiter erzeugt in seiner Umgebung ein magnetisches Feld. Ändert sich der Strom zeitlich, ändert sich auch das Magnetfeld. In einer zweiten Leiterschleife wird dadurch eine Spannung induziert:

U(t) = dΦ/dt = d(∫_A B⃗ · dA⃗)/dt.

Der magnetische Fluss Φ wird ermittelt, indem das magnetische Feld B⃗ über die von der zweiten Schleife umschlossene Fläche A integriert wird. Nach dem Biot-Savart-Gesetz ist das erzeugte Feld proportional zum Strom in der ersten Schleife. Daher gilt unter geeigneten Bedingungen:

Φ = M · I.

Der Proportionalitätsfaktor M heißt Gegeninduktivität. Er ist eine Verallgemeinerung der Selbstinduktivität L und besitzt wie diese die SI-Einheit Henry [H].

Der einfache lineare Zusammenhang setzt magnetisch lineare Medien voraus, bei denen das Feld stets proportional zum erzeugenden Strom ist. Bei einem Eisenkern ist diese Voraussetzung im Allgemeinen nicht erfüllt. Außerdem müssen die zeitlichen Änderungen quasistatisch sein, also so langsam, dass Laufzeit- beziehungsweise Retardierungseffekte keine wesentliche Rolle spielen. Dafür müssen die Abmessungen der Anordnung wesentlich kleiner als die Wellenlänge λ = c/f sein.

Symmetrie und Reziprozität

Unter den genannten Voraussetzungen ist die Gegeninduktivität unabhängig davon, welcher der beiden Stromkreise als erzeugender und welcher als empfangender Stromkreis betrachtet wird:

M₂₁ = M₁₂.

Diese Symmetrie heißt magnetisches Reziprozitätstheorem. Sie erleichtert Berechnungen: Bei einer langen Spule mit einer kleineren konzentrischen Empfängerspule kann die leichter zu berechnende Richtung der Flussverkettung verwendet werden, weil die Gegeninduktivität in der umgekehrten Richtung gleich groß ist.

Die Reziprozität gilt hier für lineare magnetisch gekoppelte Stromkreise. Solche zwei Stromkreise können deshalb in der Netzwerktheorie als reziprokes Zweitor beschrieben werden.

Grundidee des Beweises

Der Beweis verwendet die Vektoranalysis und die Maxwell-Gleichungen. Zunächst wird das Magnetfeld als Rotation eines Vektorpotentials A⃗ dargestellt:

B⃗ = ∇⃗ × A⃗.

Damit lässt sich der magnetische Fluss durch die zweite Leiterschleife von einem Flächenintegral in ein Linienintegral umformen:

Φ₂ = ∫ B⃗ · da⃗ = ∫ A⃗ · ds⃗₂.

Das Vektorpotential lässt sich mithilfe einer Form des Biot-Savart-Gesetzes auf den Strom I in der ersten Leiterschleife zurückführen:

A⃗(r⃗) = (μ₀I/4π) ∫_(L₁) ds⃗₁/|r⃗ − x⃗₁|.

Einsetzen ergibt für die Gegeninduktivität:

M₁₂ = (μ₀/4π) ∫(L₁)∫(L₂) (ds⃗₁ · ds⃗₂)/|x⃗₂ − x⃗₁|.

Vertauscht man die beiden Integrationen, bleiben das Skalarprodukt und der Abstand unverändert. Daher folgt M₁₂ = M₂₁. Die Herleitung integriert über die Linienpfade L₁ und L₂, die jeweils unendlich dünnen Leiterschleifen entsprechen.

Technische Anwendungen und Störungen

In der elektromagnetischen Verträglichkeit wird Gegeninduktivität auch magnetische oder induktive Kopplung genannt. Dabei handelt es sich gewöhnlich um eine unerwünschte Kopplung: Der Strom i₁ im ersten Stromkreis erzeugt einen veränderlichen magnetischen Fluss, der im zweiten Stromkreis eine zusätzliche Quellenspannung hervorruft. Diese kann dort als Störung auftreten. Für die gegeninduzierte Spannung gilt:

Ug₂ = Mₛ · di₁/dt.

Die Kopplung kann entweder als Feldmodell mit einem veränderlichen Magnetfeld oder gleichwertig als Netzwerkmodell mit der Gegeninduktivität Mₛ dargestellt werden.

Induktive Kopplung wird auch gezielt genutzt. Wegen der im Vergleich zum elektrischen Feld höheren Energiedichte des magnetischen Feldes kann sie bei mittleren Frequenzen relativ hohe Leistungen übertragen. Dies wird für kontaktlose Transportsysteme sowie zum kontaktlosen Laden von Akkumulatoren in Fahrzeugen und Geräten entwickelt.

In der Nachrichtenübertragung dient induktive Kopplung zur kontaktlosen Signalübertragung, etwa zwischen einem Sensor und einem Anzeigegerät. Weitere Beispiele sind kontaktlose Chipkarten sowie RFID (radio-frequency identification) und NFC (near field communication).