Gangunterschied

Grundidee und Bedeutung

Der Gangunterschied ist die Wegdifferenz zweier oder mehrerer kohärenter Wellen. Kohärente Wellen besitzen eine feste Phasenbeziehung zueinander. Für zwei Wege gilt

Δs = s₂ − s₁.

Der Gangunterschied entscheidet darüber, wie sich die Wellen bei ihrer Überlagerung verhalten: Sie können sich verstärken, abschwächen oder vollständig auslöschen. Diese Erscheinungen heißen Interferenz.

Konstruktive und destruktive Interferenz

Für zwei Wellen mit gleicher Wellenlänge λ und gleicher Amplitude gelten folgende Bedingungen:

• Konstruktive Interferenz: Die Amplituden addieren sich, wenn der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist: Δs = kλ mit k = 0, ±1, ±2, ±3, …, ±n.
• Destruktive Interferenz: Die Teilwellen löschen sich aus, wenn der Gangunterschied eine halbe Wellenlänge plus ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge beträgt: Δs = (k + 0,5)λ mit k = 0, ±1, ±2, ±3, …, ±n.
• Bei Gangunterschieden zwischen diesen Werten kommt es zu einer teilweisen Auslöschung.

Phasendifferenz

Der Gangunterschied entspricht einer Phasenverschiebung, also einer Verschiebung innerhalb des periodischen Wellenverlaufs. Im Bogenmaß gilt

Δφ = (Δs/λ) · 2π,

im Gradmaß

Δφ = (Δs/λ) · 360°.

Die Phasendifferenz bestimmt somit die Verstärkung oder Auslöschung. Eine Phasendifferenz von 180° entspricht einer Wegdifferenz von einer halben Wellenlänge, gegebenenfalls zuzüglich eines ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge. Bei zwei gleich großen Wellen führt dies zur vollständigen Auslöschung: Es wird keine Amplitude gemessen und es liegt ein Beugungsminimum vor.

Geometrische Bestimmung bei elektromagnetischen Wellen

Bei elektromagnetischen Wellen ist die absolute Weglänge typischerweise um mehrere Größenordnungen größer als der Gangunterschied: Im genannten Beispiel stehen etwa ein halber Meter und ein halber Mikrometer gegenüber, also ein Unterschied von sechs Zehnerpotenzen. Deshalb können geometrische Konstruktionen mit parallelen Strahlenbündeln durchgeführt werden.

An Stellen, an denen Beugung an einem Gegenstand auftritt, lassen sich mithilfe rechtwinkliger Dreiecke der Beugungs- beziehungsweise Beobachtungswinkel, der Gangunterschied und eine charakteristische Länge oder Breite des beugenden Gegenstands miteinander verknüpfen.

Bragg-Reflexion

Bei der Bragg-Reflexion betrachtet man Strahlen, die an benachbarten Gitterebenen reflektiert werden. Ihr Gangunterschied beträgt

Δs = 2δ.

Konstruktive Interferenz entsteht für

Δs = n · λ.

Daraus folgt die Bragg-Bedingung

n · λ = 2d · sin θ,

wobei d der Abstand der Gitterebenen und θ der betrachtete Winkel ist.

Beugung am Einzelspalt

Bei einem Einzelspalt besitzen die in Richtung des Beobachtungswinkels θ auslaufenden Strahlen unterschiedliche Wege. In einem entfernten Punkt, etwa auf einer Wand, überlagern sie sich zu einem Interferenzmuster.

Ist D der Gangunterschied zwischen dem Strahl am oberen und dem Strahl am unteren Spaltrand, verschwindet die Gesamtintensität in einer Richtung, wenn D ein von null verschiedenes ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist:

D = kλ mit k ≠ 0.

Dann heben sich die positiven und negativen Feldstärken der zwischen den Rändern austretenden Strahlen gegenseitig auf. In anderen Richtungen bleibt eine Restintensität. Geradeaus, also für k = 0, entsteht ein besonders helles Intensitätsmaximum, weil alle Strahlen gleichphasig sind und konstruktiv interferieren.

Die Bedingung unterscheidet sich von der Auslöschung zweier einzelner Wellen: Am Spalt wird eine ganze Schar von Strahlen überlagert, deren Gangunterschiede gegenüber dem oberen Strahl den Bereich Δs ∈ [0,D] durchlaufen. Zwischen dem Gangunterschied der beiden Randstrahlen, der Spaltbreite b und dem Winkel θ gilt

D = sin θ · b.

Damit liegen die Minima in den Richtungen, für die

sin θ = kλ/b mit k ∈ ℤ und k ≠ 0

gilt. Für die Maxima gibt es keine einfache Herleitung.