Derivation (Mathematik)

Grundidee und Definition

Eine Derivation ist eine algebraische Abstraktion der Ableitung. Sie ist eine Abbildung, die eine Summenregel, eine Skalarmultiplikation und die Leibniz-Regel erfüllt. Die Leibniz-Regel entspricht der Produktregel aus der Differentialrechnung.

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, beispielsweise der Körper ℝ oder ℂ, und A eine R-Algebra. Eine R-Derivation von A ist eine R-lineare Abbildung D: A → A mit D(a₁a₂) = D(a₁)a₂ + a₁D(a₂) für alle a₁, a₂ ∈ A.

R-Linearität bedeutet:

• D(a₁ + a₂) = D(a₁) + D(a₂),
• D(ra₁) = rD(a₁) für alle a₁, a₂ ∈ A und r ∈ R.

Eine Algebra zusammen mit einer Derivation heißt Differentialalgebra. Ringe A werden in diese Definition einbezogen, indem man sie als ℤ-Algebren auffasst.

Die Zielmenge muss nicht immer A selbst sein. Für eine Abbildung D: A → M in einen Modul oder Bimodul M gilt analog die Leibniz-Regel D(a₁a₂) = a₁D(a₂) + a₂D(a₁).

Zentrale Eigenschaften

Für eine Derivation D: A → A gelten wichtige Folgerungen:

• Besitzt A ein Einselement 1ₐ, so ist D(1ₐ) = 0. Daher gilt auch D(r) = 0 für alle r ∈ R.
• Der Kern von D, also die Menge der Elemente mit D(a) = 0, ist eine Unteralgebra.
• Die Derivationen von A mit Werten in A bilden zusammen mit dem Kommutator eine Lie-Algebra. Für zwei Derivationen D₁ und D₂ ist auch [D₁, D₂] = D₁ ∘ D₂ − D₂ ∘ D₁ wieder eine Derivation.
• Die Verkettung einer Derivation mit sich selbst ist im Allgemeinen keine Derivation. Für die n-fache Verkettung Dⁿ := D ∘ … ∘ D (n-mal) existiert jedoch die Leibniz-Regel höherer Ordnung: Dⁿ(ab) = ∑ₖ₌₀ⁿ (n über k) · Dⁿ⁻ᵏ(a) · Dᵏ(b) für a, b ∈ A.

Für b ∈ A ist die Abbildung D_b: A → A mit D_b(a) = ba − ab eine Derivation. Solche Derivationen heißen innere Derivationen. Die erste Hochschild-Kohomologie H¹(A,A) ist der Quotient des Moduls der Derivationen nach dem Untermodul der inneren Derivationen.

In einer kommutativen Algebra gilt für alle a ∈ A und alle nichtnegativen ganzen Zahlen n: D(aⁿ) = naⁿ⁻¹D(a).

Beispiele aus Algebra und Analysis

Die gewöhnliche Ableitung reeller Funktionen f: D ⊆ ℝ → ℝ ist ein Beispiel für eine Derivation. Ihre Eigenschaft als Derivation ist genau die Produktregel. Aus den allgemeinen Eigenschaften folgen entsprechende Übertragungen der Faktorregel, Summenregel und Potenzregel sowie der Produktregel für höhere Ableitungen.

Ist A = R[X] die Algebra der formalen Potenzreihen, so ist die formale Ableitung ∑ aᵢXⁱ ↦ ∑ iaᵢXⁱ⁻¹ eine R-lineare Derivation von A mit Werten in A.

Für eine Mannigfaltigkeit X ist die Cartan-Ableitung eine ℝ-lineare Derivation von C∞(X) mit Werten im Raum A¹(X) der 1-Formen auf X.

Außerdem besagt eine Umformulierung der Jacobi-Identität für Lie-Algebren, dass die adjungierte Darstellung durch Derivationen operiert: [X,[A,B]] = [[X,A],B] + [A,[X,B]].

Kähler-Differentiale und universelle Derivation

Für eine kommutative Algebra A werden R-lineare Derivationen durch den Modul Ωₐ⧸ᵣ der Kähler-Differentiale klassifiziert. Das bedeutet: Es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den R-linearen Derivationen von A mit Werten in einem A-Modul M und den A-linearen Abbildungen Ωₐ⧸ᵣ → M.

Jede Derivation D: A → M entsteht durch die Verkettung der universellen Derivation d: A → Ωₐ⧸ᵣ mit einer A-linearen Abbildung Ωₐ⧸ᵣ → M. Die Kähler-Differentiale dienen damit als gemeinsamer, universeller Ausgangspunkt für alle solchen Derivationen.

Antiderivationen in graduierten Algebren

Ist A eine ℤ- oder ℤ/2ℤ-graduierte R-Algebra, so heißt eine R-lineare graduierte Abbildung D: A → A eine Antiderivation, wenn sie eine vorzeichenbehaftete Leibniz-Regel erfüllt. Für homogene Elemente a₁ und a₂ gilt: D(a₁a₂) = D(a₁)a₂ + (−1)^{|a₁|} · a₁D(a₂).

Dabei bezeichnet |a₁| den Grad von a₁. Das Vorzeichen hängt also vom Grad des ersten Faktors ab.

Ein wichtiges Beispiel ist die äußere Ableitung von Differentialformen. Für Differentialformen ω und η gilt: d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)^{|ω|} · ω ∧ dη.

Das Keilprodukt ∧ wird dabei durch die äußere Ableitung nach genau dieser Antiderivationsregel behandelt.