Bohrsches Magneton

Definition und Bedeutung

Das Bohrsche Magneton \mu_{\mathrm B} ist eine physikalische Konstante für magnetische Momente. Es bezeichnet den Betrag des magnetischen Moments, das ein Elektron mit der Bahndrehimpulsquantenzahl \ell=1 durch seinen Bahndrehimpuls erzeugt. Im ursprünglichen Bohrschen Atommodell entspricht dies dem Grundzustand, also dem Zustand mit der niedrigsten Energie.

In der Atomphysik dient das Bohrsche Magneton als Einheit, in der magnetische Momente angegeben und miteinander verglichen werden.

Magneton eines Teilchens

In der Quantenmechanik erzeugt der Bahndrehimpuls \vec L eines geladenen Punktteilchens mit Masse m und Ladung q ein magnetisches Moment \vec\mu:

\displaystyle \vec\mu=\mu\,\frac{\vec L}{\hbar}

Dabei ist \hbar die reduzierte Planck-Konstante. Die Größe

\displaystyle \mu=\frac{q}{2m}\,\hbar

heißt Magneton des Teilchens. Sie hängt somit von seiner Ladung und seiner Masse ab.

Wert und Einheiten

Das Bohrsche Magneton ergibt sich, wenn in die allgemeine Magnetonformel die Elementarladung e und die Elektronenmasse m_{\mathrm e} eingesetzt werden:

\displaystyle \mu_{\mathrm B}=\frac{e}{2m_{\mathrm e}}\,\hbar

Nach der angegebenen Messgenauigkeit gilt:

\displaystyle \mu_{\mathrm B}=5{,}788\,381\,8060(17)\cdot10^{-5}\,\mathrm{eV/T}

\displaystyle \mu_{\mathrm B}=9{,}274\,010\,0783(28)\cdot10^{-24}\,\mathrm{J/T}

Die relative Unsicherheit beträgt 3{,}0\cdot10^{-10}; die Werte stammen aus CODATA 2018. Die Ziffern in Klammern geben die geschätzte Standardabweichung des Mittelwerts an und beziehen sich auf die beiden letzten Ziffern vor der Klammer. Dabei steht eV für Elektronenvolt, J für Joule und T für Tesla, die Einheit der magnetischen Flussdichte.

Richtung von Bahn- und Spinmoment

Für ein Elektron muss das Vorzeichen seiner Ladung beachtet werden: Es gilt q=-e. Deshalb ist sein durch den Bahndrehimpuls erzeugtes magnetisches Moment stets entgegengesetzt zu \vec L gerichtet.

Ein Elektron mit \ell=1, dessen Bahndrehimpuls bei der magnetischen Quantenzahl m_\ell=+1 parallel zur z-Achse ausgerichtet ist, besitzt daher das magnetische Moment

\displaystyle \mu_{\mathrm{Elektron},\ell=1}=-\mu_{\mathrm B}.

Das kommt beispielsweise in p-Orbitalen oder auf der innersten Kreisbahn des Bohrschen Atommodells vor. Zusätzlich trägt der Spindrehimpuls, kurz Spin, ein eigenes magnetisches Moment bei:

\displaystyle \mu_{\mathrm{Elektron,Spin}}\approx-1{,}0012\mu_{\mathrm B}.

Auch dieses Moment ist der Richtung des Spins entgegengesetzt. Nach dem Artikel hat ein magnetisches Dipolmoment im Magnetfeld seine geringste Energie, wenn es dem Feld entgegensteht; Bahndrehimpuls und Spin sind dann parallel zur Feldrichtung ausgerichtet.

Historische Entwicklung

Die Vorstellung eines elementaren Magneten geht auf Walter Ritz (1907) und Pierre-Ernest Weiss zurück. Schon vor dem rutherfordschen Atommodell wurde ein Zusammenhang zwischen einem elementaren Magneton und der Planck-Konstante h vermutet.

Richard Gans gab im September 1911 einen Wert an, der doppelt so groß wie das Bohrsche Magneton war. Paul Langevin nannte im November 1911 auf der Ersten Solvay-Konferenz einen kleineren Wert. Ștefan Procopiu bestimmte 1911 unter Anwendung der Quantentheorie von Max Planck als Erster den genauen Wert; deshalb wird gelegentlich auch die Bezeichnung Bohr-Procopiu-Magneton verwendet.

Die Bezeichnung „Bohrsches Magneton“ führte Wolfgang Pauli 1920 ein. Er verglich dabei den theoretischen Wert des Magnetons mit dem experimentell bestimmten weissschen Magneton.