Ampèresches Kraftgesetz

Grundidee und Bedeutung

Das ampèresche Kraftgesetz beschreibt die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern. Ein Leiter erzeugt nach dem Biot-Savart-Gesetz ein Magnetfeld; dieses übt auf den Strom im zweiten Leiter eine Lorentzkraft aus. Deshalb wirken zwei stromdurchflossene Leiter aufeinander. Das Kraftgesetz darf nicht mit dem ampèreschen Gesetz, auch Durchflutungsgesetz genannt, verwechselt werden.

Für die Gesamtkräfte gilt das Wechselwirkungsgesetz: F⃗₂₁ = −F⃗₁₂.

Historischer Hintergrund

Hans Christian Oersted zeigte Anfang 1820, dass ein stromdurchflossener Draht eine Kompassnadel beeinflusst. Jean-Baptiste Biot und Félix Savart formulierten noch 1820 das Biot-Savart-Gesetz. André-Marie Ampère entdeckte im selben Jahr die Kraft zwischen parallelen Strömen und veröffentlichte 1826 eine differentielle Form seines Gesetzes in Théorie mathématique des phénomènes électro-dynamiques uniquement déduite de l'expérience.

Heute wird meist die differentielle Formulierung von Hermann Graßmann verwendet. Sie und Ampères Form liefern für reale, geschlossene Stromkreise nach Integration dasselbe Ergebnis. Ampères differentielle Form erfüllt bereits das Wechselwirkungsgesetz; Graßmanns differentielle Form nicht. Die Graßmann-Form lässt sich jedoch leicht aus Biot-Savart-Gesetz und Lorentzkraft herleiten.

Kraft für zwei dünne Leiter

Für zwei dünne, stromdurchflossene Leiter lautet die von Leiter 2 auf Leiter 1 ausgeübte Kraft:

F⃗₁₂ = (μ₀/(4π)) I₁I₂ ∫ₗ₁∫ₗ₂ [dℓ⃗₁ × (dℓ⃗₂ × r⃗₂₁)]/r³.

μ₀ ist die magnetische Feldkonstante. I₁ und I₂ sind die konstanten Stromstärken. dℓ⃗₁ und dℓ⃗₂ sind infinitesimal kleine vektorielle Linienelemente an den Orten r⃗₁ und r⃗₂; über ihre Leiterkurven L₁ und L₂ wird integriert. r⃗₂₁ = r⃗₁ − r⃗₂ zeigt vom Linienelement des Leiters 2 zu dem des Leiters 1, und r = |r⃗₂₁| ist ihr Abstand. Das Zeichen × bezeichnet das Kreuzprodukt.

Die Vorzeichen der Stromstärken beziehen sich auf die Orientierung der Linienelemente. Bei I₁ > 0 zeigt dℓ⃗₁ in technische Stromrichtung. Die Formel gilt für ungeladene, ideal dünne und ruhende Drähte mit konstanter Stromstärke.

Differentielle und symmetrische Formen

Die Graßmann-Form für die Kraft zwischen zwei Linienelementen ist:

d²F⃗₁₂⁽ᴳ⁾ = (μ₀/(4π)) I₁I₂ [dℓ⃗₁ × (dℓ⃗₂ × r⃗₂₁)]/r³.

Nach Auflösen des doppelten Kreuzprodukts gilt:

d²F⃗₁₂⁽ᴳ⁾ = −(μ₀/(4π))(I₁I₂/r³) [r⃗₂₁(dℓ⃗₁ · dℓ⃗₂) − dℓ⃗₂(dℓ⃗₁ · r⃗₂₁)].

Ampères differentielle Form lautet:

d²F⃗₁₂⁽ᴬ⁾ = −(μ₀/(4π))(I₁I₂/r³) r⃗₂₁ [2 dℓ⃗₁ · dℓ⃗₂ − 3(r⃗₂₁ · dℓ⃗₁/r)(r⃗₂₁ · dℓ⃗₂/r)].

Dabei ist · das Skalarprodukt. Weil r⃗₂₁ = −r⃗₁₂ und der Klammerausdruck beim Vertauschen der Indizes gleich bleibt, gilt d²F⃗₂₁⁽ᴬ⁾ = −d²F⃗₁₂⁽ᴬ⁾.

Sind die Leiter zusätzlich geschlossen, fällt in der Graßmann-Umformung ein Term als totale Ableitung im geschlossenen Linienintegral weg. Dann ergibt sich die symmetrische Form: F⃗ = −(μ₀/(4π)) I₁I₂ ∫ₗ₁∫ₗ₂ (dℓ⃗₁ · dℓ⃗₂) r⃗₂₁/r³.

Herleitung und parallele Leiter

Die Lorentzkraft auf Leiter 1 ist F⃗ᴸ = I₁ ∫ₗ₁ (dℓ⃗₁ × B⃗₂(r⃗₁)). Für den dünnen Leiter 2 liefert das Biot-Savart-Gesetz:

B⃗₂(r⃗₁) = (μ₀I₂/(4π)) ∫ₗ₂ [dℓ⃗₂ × r⃗₂₁]/r³.

Setzt man dieses Magnetfeld in die Lorentzkraft ein, erhält man bei absoluter Integrierbarkeit genau die Integralform des ampèreschen Kraftgesetzes.

Für gerade, dünne, parallele und unendlich lange Leiter beträgt die Kraft pro Länge:

F/ℓ = (μ₀/(2π)) · (I₁I₂/r).

Bis 2019 war das Ampere über diesen Spezialfall definiert: Bei I₁ = I₂ = 1 A und r = 1 m galt F/ℓ = 2·10⁻⁷ N/m. Allgemein: F/ℓ = 2·10⁻⁷ (N/A²) · (I₁I₂/r). Seit der Revision des SI gilt diese Beziehung nicht mehr exakt, aber in extrem guter Näherung.