Alternativkörper

Grundidee und Bedeutung

Ein Alternativkörper verallgemeinert den algebraischen Körper: Für die Multiplikation werden weder Kommutativgesetz noch Assoziativgesetz verlangt. Stattdessen muss sie alternativ sein. Jeder Schiefkörper ist ein Alternativkörper; umgekehrt ist jeder Alternativkörper ein Links- und Rechtsquasikörper. Eine wichtige Anwendung liegt in der synthetischen Geometrie: Ruth Moufang bewies 1933, dass jede Moufangebene isomorph zu einer projektiven Koordinatenebene P²(A) über einem Alternativkörper A ist.

Definition

Eine Menge M mit Addition + und Multiplikation · heißt Alternativkörper, wenn:

• (M,+) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 ist.
• (M \ {0},·) ein Loop ist, also eine Quasigruppe mit neutralem Element 1.
• Die Alternativitätsgesetze gelten: A₁: a·(a·b) = (a·a)·b, A₂: a·(b·b) = (a·b)·b.
• Beide Distributivgesetze gelten: a·(b+c) = a·b+a·c und (a+b)·c = a·c+b·c.

Kern

Der Kern eines Alternativkörpers A ist

S = Kern(A) = {x ∈ A : für alle a,b ∈ A gilt x(ab) = (xa)b}.

Er ist eindeutig bestimmt und bildet mit den von A übernommenen Verknüpfungen einen Schiefkörper. A ist genau dann selbst ein Schiefkörper, wenn A = Kern(A). Der Kern muss dabei nicht der bezüglich Inklusion maximale Schiefkörper in A sein.

Wichtige Folgerungen

Aus der Alternativität folgt das Flexibilitätsgesetz a·(b·a) = (a·b)·a. Die Gesetze A₁, A₂ und das Flexibilitätsgesetz sind zyklisch: Aus je zwei folgt das dritte.

Außerdem gelten die Moufang-Identitäten [a·(b·a)]·c = a·[b·(a·c)] und (a·b)·(c·a) = a·[(b·c)·a]. Nach dem Satz von Artin erzeugen zwei beliebige unterschiedliche Elemente einen assoziativen Schiefkörper; daher sind Alternativkörper potenzassoziativ. Drei unterschiedliche Elemente a, b, c, für die (a·b)·c = a·(b·c) gilt, erzeugen ebenfalls einen Schiefkörper.

Jeder endliche Alternativkörper ist nach dem Satz von Artin und Zorn ein endlicher Körper. Für Charakteristik ungleich 2 gilt nach Bruck und Kleinfeld: Ein Alternativkörper ist entweder assoziativ oder eine Cayley-Dickson-Algebra über seinem Zentrum.

Beispiele

Jeder Körper und jeder Schiefkörper ist ein Alternativkörper. Ein bekannter echter Alternativkörper, also keiner Schiefkörper, sind die reellen Oktonionen ℝ? Nein: die Oktonionen ℍ? Korrekt ist ℝ? Die im Artikel genannten reellen Oktonionen ℝ? Bezeichnet werden sie mit 𝕆. Ihr Kern ist der Körper der reellen Zahlen; außerdem enthalten sie unendlich viele zu den komplexen Zahlen isomorphe Körper.