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Das Laplace-Experiment I musstewissen Mathe

musstewissen Mathe6:18 124.265 Aufrufe veröffentlicht Auf YouTube

Das Wichtigste aus dem Video

Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.

Transkriptautomatisch erstellt · 62 Zeilen
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  1. Lande ich beim nächsten Wurf auf der Schlossallee oder muss ich ins Gefängnis?
  2. Viele Spiele wie Monopoly oder - ganz klassisch - Backgammon spielt man nicht mit einem, sondern mit zwei Würfeln.
  3. In diesem Video zeige ich euch, wie man an die richtigen Wahrscheinlichkeiten rankommt.
  4. Dann kann euch beim nächsten Spieleabend keiner mehr was vormachen.
  5. Bei Spielen mit nur einem Würfel ist die Sache einfach. Die möglichen Ergebnisse ωi sind die verschiedenen Augenzahlen.
  6. Das heißt, die Ergebnismenge Ω besteht aus den Zahlen 1 bis 6. Und es ist ein sogenanntes "Laplace-Experiment".
  7. Das heißt, alle Ergebnisse ωi haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, P(ωi) ist gleich ein Sechstel.
  8. Können wir das bei zwei Würfeln nicht genauso machen? Probieren wir's aus. An die Arbeit.
  9. Bei Monopoly zählt man die beiden Würfel zusammen. Wir definieren also als Ergebnisse ωi die möglichen Augensummen,
  10. das heißt die Zahlen von 2 bis 12. Unsere Ergebnismenge Ω sieht dann so aus:
  11. Das sind elf verschiedene Ergebnisse. Die 1 fehlt ja.
  12. Wenn es ein Laplace-Experiment ist, dann hat jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit,
  13. nämlich ein Elftel. * Tröten *
  14. Nee, das kann nicht sein. Beim Spielen habt ihr doch sicher auch schon gemerkt,
  15. dass die "extremen Zahlen", 2 und 12, viel seltener vorkommen als die anderen Zahlen.
  16. Wir haben hier kein Laplace-Experiment und die Wahrscheinlichkeiten sind völliger Quatsch.
  17. Mist. Was lief falsch?
  18. Wo ist der Denkfehler? Wir haben so getan, als hätten wir einen elfseitigen Würfel.
  19. Wir auch immer so etwas aussieht. Tatsächlich haben wir aber ein zusammengesetztes Zufallsexperiment
  20. mit zwei normalen Würfeln. Deren Augenzahlen werden addiert.
  21. 2 und 12 kann man nur auf jeweils eine Art und Weise bekommen: Die Zahlen in der Mitte ergeben sich auf mehrere Arten als Summe.
  22. Kurz nachzählen: 36 verschiedene Summen.
  23. Als Ergebnisse dürfen wir also nicht die Summen von 2 bis 12 nehmen, sondern Zahlenpaare.
  24. Übersichtlicher wird es in einer Tabelle. Die Tabelle hat 6 x 6, also 36 Einträge.
  25. Aber beschreiben diese 36 Einträge wirklich alle verschiedenen Möglichkeiten?
  26. Sind nicht zum Beispiel 2/1 und 1/2 eigentlich dasselbe? Oder 5/2 und 2/5?
  27. Es geht um die Reihenfolge. Bei einem Pasch ist die Reihenfolge ganz sicher egal.
  28. Aber jeder Pasch hat auch nur einen einzigen Eintrag. Die liegen auf einer Diagonalen in der Tabelle.
  29. Wenn die beiden Würfel verschiedene Zahlen zeigen, dann gehören dazu zwei Einträge.
  30. Eine runter der Diagonalen und der andere darüber, und zwar genau gegenüber.
  31. Es ist eine Art Spiegelung. Wenn wir die Reihenfolge ignorieren,
  32. dann können wir die Einträge über der Diagonalen weglassen. Es bleiben nur noch 21 Einträge übrig.
  33. Was ist jetzt richtig? Ist es besser, mit den 21 Ergebnissen zu arbeiten?
  34. Oder müssen wir doch die vollen 36 nehmen? Wir brauchen eine neue Idee.
  35. Ha! Bis jetzt sind wir immer von zwei gleichen Würfeln ausgegangen.
  36. Aber was ist, wenn die beiden Würfel verschieden sind? Zum Beispiel ein roter und ein blauer.
  37. Bei solchen Würfeln kann man immer erkennen, welcher Würfel was gewürfelt hat.
  38. Eine rote 2 und eine blaue 1 ist was anderes als eine rote 1 und eine blaue 2. Zum Beispiel könnte man zweistellige Zahlen bilden:
  39. der rote Würfel vorne, der blaue hinten. Und eine 21 ist natürlich was anderes als eine 12.
  40. Wir müssen die Reihenfolge also berücksichtigen. Wir halten fest:
  41. Unsere Ergebnisse ωi sind die möglichen Augenpaare. Und dabei ist die Reihenfolge wichtig.
  42. Bei zwei Augenwürfeln besteht die Ergebnismenge Ω also aus allen 36 Einträgen unserer Tabelle.
  43. Jetzt zu den Wahrscheinlichkeiten. Der rote und der blaue Würfel sind voneinander unabhängig.
  44. Wenn zum Beispiel ein roter Würfel in New York eine 5 zeigt, dann ist die Wahrscheinlichkeit,
  45. dass ein blauer Würfel in Timbuktu eine 2 zeigt, immer noch ein Sechstel. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit für das Augenpaar 5/2
  46. ist ein Sechstel von einem Sechstel, also ein Sechstel mal ein Sechstel, gleich ein Sechsunddreißigstel.
  47. Für alle anderen Augenpaare gilt genau das Gleiche. In der Welt der Augenpaare herrscht also totale Gleichberechtigung.
  48. Kurz gesagt: Es ist ein Laplace-Experiment. Puh, das war anstrengend.
  49. Aber jetzt ist die schwere Arbeit auch getan, denn der Rest ist eigentlich nur noch abzählen.
  50. Ein Beispiel: Monopoly. Mit einer 5 lande ich auf der Schlossallee und bin pleite.
  51. Bei welchen Ereignissen kommt die 5? Klar, bei 4/1, 3/2, 2/3 und 1/4. Das sind vier Stück.
  52. Jedes Ergebnis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit von einem Sechsunddreißigstel.
  53. Zusammen sind das vier Sechsunddreißigstel. Für die anderen Augensummen geht man genauso vor.
  54. Von 2 bis 7 steigen die Wahrscheinlichkeiten gleichmäßig von 1 auf 6 Sechsunddreißigstel.
  55. Von 7 bis 12 gehen die Wahrscheinlichkeiten genauso wieder runter.
  56. Übrigens: Die Wahrscheinlichkeiten von verschiedenen Ergebnissen lassen sich hier am besten miteinander vergleichen,
  57. wenn man die Brüche nicht kürzt, ganz ausnahmsweise mal.
  58. Fragt eure Lehrer, was die davon halten. So, jetzt seid ihr gerüstet, um alle möglichen Wahrscheinlichkeiten
  59. bei einem Würfelwurf mit zwei Würfeln zu bestimmen. Was ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch?
  60. Wenn ihr das jetzt wisst, dann schreibt eure Antwort in die Kommentare.
  61. Fragen und Anregungen könnt ihr auch da hinterlassen. Wenn euch das Video gefallen hat, gebt uns einen Daumen nach oben.
  62. Und wenn ihr in Zukunft mehr wissen wollt, dann abonniert uns. Bis dann. Untertitel im Auftrag des ZDF für funk, 2017

Zum Nachlesen

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