Das Laplace-Experiment I musstewissen Mathe
musstewissen Mathe
https://www.youtube.com/watch?v=zPcjFWQa6Uc

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Lande ich beim nächsten Wurf auf der Schlossallee oder muss ich ins Gefängnis?
0:03 Viele Spiele wie Monopoly oder - ganz klassisch - Backgammon spielt man nicht mit einem, sondern mit zwei Würfeln.
0:09 In diesem Video zeige ich euch, wie man an die richtigen Wahrscheinlichkeiten rankommt.
0:13 Dann kann euch beim nächsten Spieleabend keiner mehr was vormachen.
0:20 Bei Spielen mit nur einem Würfel ist die Sache einfach. Die möglichen Ergebnisse ωi sind die verschiedenen Augenzahlen.
0:28 Das heißt, die Ergebnismenge Ω besteht aus den Zahlen 1 bis 6. Und es ist ein sogenanntes "Laplace-Experiment".
0:35 Das heißt, alle Ergebnisse ωi haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, P(ωi) ist gleich ein Sechstel.
0:43 Können wir das bei zwei Würfeln nicht genauso machen? Probieren wir's aus. An die Arbeit.
0:54 Bei Monopoly zählt man die beiden Würfel zusammen. Wir definieren also als Ergebnisse ωi die möglichen Augensummen,
1:03 das heißt die Zahlen von 2 bis 12. Unsere Ergebnismenge Ω sieht dann so aus:
1:09 Das sind elf verschiedene Ergebnisse. Die 1 fehlt ja.
1:12 Wenn es ein Laplace-Experiment ist, dann hat jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit,
1:17 nämlich ein Elftel. * Tröten *
1:24 Nee, das kann nicht sein. Beim Spielen habt ihr doch sicher auch schon gemerkt,
1:29 dass die "extremen Zahlen", 2 und 12, viel seltener vorkommen als die anderen Zahlen.
1:34 Wir haben hier kein Laplace-Experiment und die Wahrscheinlichkeiten sind völliger Quatsch.
1:40 Mist. Was lief falsch?
1:43 Wo ist der Denkfehler? Wir haben so getan, als hätten wir einen elfseitigen Würfel.
1:50 Wir auch immer so etwas aussieht. Tatsächlich haben wir aber ein zusammengesetztes Zufallsexperiment
1:57 mit zwei normalen Würfeln. Deren Augenzahlen werden addiert.
2:00 2 und 12 kann man nur auf jeweils eine Art und Weise bekommen: Die Zahlen in der Mitte ergeben sich auf mehrere Arten als Summe.
2:11 Kurz nachzählen: 36 verschiedene Summen.
2:18 Als Ergebnisse dürfen wir also nicht die Summen von 2 bis 12 nehmen, sondern Zahlenpaare.
2:26 Übersichtlicher wird es in einer Tabelle. Die Tabelle hat 6 x 6, also 36 Einträge.
2:33 Aber beschreiben diese 36 Einträge wirklich alle verschiedenen Möglichkeiten?
2:38 Sind nicht zum Beispiel 2/1 und 1/2 eigentlich dasselbe? Oder 5/2 und 2/5?
2:44 Es geht um die Reihenfolge. Bei einem Pasch ist die Reihenfolge ganz sicher egal.
2:50 Aber jeder Pasch hat auch nur einen einzigen Eintrag. Die liegen auf einer Diagonalen in der Tabelle.
2:55 Wenn die beiden Würfel verschiedene Zahlen zeigen, dann gehören dazu zwei Einträge.
3:00 Eine runter der Diagonalen und der andere darüber, und zwar genau gegenüber.
3:05 Es ist eine Art Spiegelung. Wenn wir die Reihenfolge ignorieren,
3:11 dann können wir die Einträge über der Diagonalen weglassen. Es bleiben nur noch 21 Einträge übrig.
3:18 Was ist jetzt richtig? Ist es besser, mit den 21 Ergebnissen zu arbeiten?
3:22 Oder müssen wir doch die vollen 36 nehmen? Wir brauchen eine neue Idee.
3:29 Ha! Bis jetzt sind wir immer von zwei gleichen Würfeln ausgegangen.
3:34 Aber was ist, wenn die beiden Würfel verschieden sind? Zum Beispiel ein roter und ein blauer.
3:39 Bei solchen Würfeln kann man immer erkennen, welcher Würfel was gewürfelt hat.
3:43 Eine rote 2 und eine blaue 1 ist was anderes als eine rote 1 und eine blaue 2. Zum Beispiel könnte man zweistellige Zahlen bilden:
3:51 der rote Würfel vorne, der blaue hinten. Und eine 21 ist natürlich was anderes als eine 12.
3:57 Wir müssen die Reihenfolge also berücksichtigen. Wir halten fest:
4:01 Unsere Ergebnisse ωi sind die möglichen Augenpaare. Und dabei ist die Reihenfolge wichtig.
4:07 Bei zwei Augenwürfeln besteht die Ergebnismenge Ω also aus allen 36 Einträgen unserer Tabelle.
4:15 Jetzt zu den Wahrscheinlichkeiten. Der rote und der blaue Würfel sind voneinander unabhängig.
4:21 Wenn zum Beispiel ein roter Würfel in New York eine 5 zeigt, dann ist die Wahrscheinlichkeit,
4:27 dass ein blauer Würfel in Timbuktu eine 2 zeigt, immer noch ein Sechstel. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit für das Augenpaar 5/2
4:35 ist ein Sechstel von einem Sechstel, also ein Sechstel mal ein Sechstel, gleich ein Sechsunddreißigstel.
4:42 Für alle anderen Augenpaare gilt genau das Gleiche. In der Welt der Augenpaare herrscht also totale Gleichberechtigung.
4:50 Kurz gesagt: Es ist ein Laplace-Experiment. Puh, das war anstrengend.
4:56 Aber jetzt ist die schwere Arbeit auch getan, denn der Rest ist eigentlich nur noch abzählen.
5:00 Ein Beispiel: Monopoly. Mit einer 5 lande ich auf der Schlossallee und bin pleite.
5:09 Bei welchen Ereignissen kommt die 5? Klar, bei 4/1, 3/2, 2/3 und 1/4. Das sind vier Stück.
5:17 Jedes Ergebnis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit von einem Sechsunddreißigstel.
5:22 Zusammen sind das vier Sechsunddreißigstel. Für die anderen Augensummen geht man genauso vor.
5:27 Von 2 bis 7 steigen die Wahrscheinlichkeiten gleichmäßig von 1 auf 6 Sechsunddreißigstel.
5:33 Von 7 bis 12 gehen die Wahrscheinlichkeiten genauso wieder runter.
5:37 Übrigens: Die Wahrscheinlichkeiten von verschiedenen Ergebnissen lassen sich hier am besten miteinander vergleichen,
5:44 wenn man die Brüche nicht kürzt, ganz ausnahmsweise mal.
5:48 Fragt eure Lehrer, was die davon halten. So, jetzt seid ihr gerüstet, um alle möglichen Wahrscheinlichkeiten
5:53 bei einem Würfelwurf mit zwei Würfeln zu bestimmen. Was ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch?
6:02 Wenn ihr das jetzt wisst, dann schreibt eure Antwort in die Kommentare.
6:06 Fragen und Anregungen könnt ihr auch da hinterlassen. Wenn euch das Video gefallen hat, gebt uns einen Daumen nach oben.
6:11 Und wenn ihr in Zukunft mehr wissen wollt, dann abonniert uns. Bis dann. Untertitel im Auftrag des ZDF für funk, 2017