Cramersche Regel | Lineare Gleichungssysteme (LGS) eindeutig lösen + Beispiele 2x2 und 3x3 Matrix
MathePeter
https://www.youtube.com/watch?v=qq2TH_bx0pk

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 mit der regel von cramer lassen sich lineare gleichungen systeme lösen die eine eindeutige lösung besitzen es war braucht man bei der regel von cramer
0:06 mehr rechenoperationen als noch beim gas algorithmus dafür lassen sich aber einzelne lösungen direkt berechnen also sagen wir zum beispiel du hast ein
0:14 system mit 1000 variablen dann könntest du zum beispiel wenn du möchtest direkt die 137 die lösung ausrechnen unabhängig von den anderen in der regel von cramer
0:23 funktioniert dass er gleich direkt an zwei beispielen los geht's ich bin mit peter und in diesem video geht es um die regel von kramer mit
0:32 hilfe der kramer schon regel lassen sich alle lösungen von so einem linearen gleich ums system direkt berechnen unabhängig von allen anderen lösungen
0:40 das einzige was du dafür brauchst sind zwei determinanten zum einen die determinante der koeffizienten matrix und zum anderen die determinante von
0:49 seiner matrix das ist die matrix die entsteht wenn du den b vector diese rechte seite hier in die ethisch bald von dieser koeffizienten matrix
0:59 einträgst das bedeutet vor allem auch dass dieses gleichung system quadratisch sein muss das heißt dass es genauso viele zeilen wie spalten in der
1:10 koeffizient matrix gibt oder anders gesagt dass es genauso viele gleichungen die variablen gibt denn ansonsten würde so etwas wie eine determinante nicht
1:18 existieren zum anderen bedeutet das aber auch dass dieses lineare gleichungen system eindeutig lösbar sein muss denn wäre es nicht eindeutig lösbar wäre die
1:28 determinante der koeffizienten matrix gleich null und dann müssten wir hierdurch 0 teilen und da wissen wir das funktioniert nicht also nur bei
1:35 quadratischen systemen die eindeutig lösbar sind kannst du die regel von cramer verwenden fangen wir erstmal ganz entspannt mit einem systeme an dass zwei
1:43 variablen hat meine empfehlung ist dass du dieses gleichnis system erst einmal in matrix vector form umschreibt einfach für die übersichtlichkeit das heißt was
1:52 du machen kannst ist alle vor faktoren von diese nixon also alle koeffizienten in so eine koeffizienten matrix ein packst das ganze mal dem rektor x1 x2
2:06 und auf der rechten seite steht der vector 74 ist das immer noch genau dasselbe wenn du aus multipliziert das mal dem plus darf mal dem gleich sieben
2:13 und das mal dem fluss das mal dem gleich vier funktioniert diese matrix ihren das ist unsere koeffizienten matrix und meine empfehlung ist dass du jetzt alle
2:24 erstmal die determinante dieser matrix bestimmt denn da gibt es zwei möglichkeiten entweder ist die determinante gleich null dann können wir
2:31 nicht mit der regel von cramer arbeiten weil das gleiche system eben nicht genau eine lösung hat oder möglichkeit zwei die determinante ist nicht nur dann
2:40 können wir zum einen weiter rechnen und zum anderen auch gleich die determinante noch verwenden für die lösung also schritt noch mal eins sollte hier an
2:47 dieser stelle immer seien die determinante dieser matrix zu berechnen es geht doch zum glück zum nicht einfach weil 2 x 2 eintritte wir müssen nur über
2:55 kreuz multiplizieren das mal dem - das mal dem also 18 - das mal dem ist mit 20 alles klar die determinante ist - 2 und damit ist sie
3:08 nicht nur wir wissen dieses gleichnis system hat genau eine lösung und wir können diese determinante von -2 für die lösung verwenden laut der regel von
3:18 cramer berechnet sich jetzt x1 durch den bruch von zwei determinanten unten im nenner da können wir einfach die determinante von arch x eintragen
3:29 was er gerade überprüft haben oben im zähler da wird's noch mal spannend da steht jetzt die determinante von folgender matic wir nehmen die
3:38 koeffizienten matrix nur aber tragen wir in der ersten spalte aber wenn das die erste lösung ist dann in der ersten spalte den b vectoring also für x1
3:48 tragen wir das 74 in der ersten spalte 1 für x2 tragen wie das 74 in der zweiten spalte eine das einzige was wir merken muss also 74 wird jetzt in der ersten
3:58 spalte stehen und alle anderen spalten der matrix die bleiben unverändert einfach stehen und jetzt wieder über kreuz multipliziert
4:07 sie mal 2 14 - 40 15 achtung das ist ne - 20 - -20 wird gleich zu einer plus 20 und das heißt 14.20 sind wir bei 34 geteilt
4:22 durch - 2 also x1 und gleich 17 das gleiche spiel können wir jetzt auch noch mit x2 machen da haben wir wieder unten im jänner eine -2 also sehr praktisch
4:33 dass wir die determinanten ausgerichtet haben und oben im 10 da steht die determinante von dieser matrix hier nur wie gesagt muss der b vector jetzt in
4:42 der zweiten spalte eingetragen werden also die erste spalte wird unverändert übernommen und in der zweiten spalte steht dieser bei vector
4:52 74 so und jetzt können auch hier wieder über kreuz multiplizieren 9 x 4 ist eine 36 - - 4 x 7 das ist eine -28 8 - - das wird wieder gleich zu
5:08 einem plus ok 36 plus 28 950 bei 60 bei 64 geteilt - zwei gleich - 32 und damit haben wir dieses gleich ums system eindeutig gelöst so guter letzt doch das
5:22 beispiel einer drei mal drei matrix hier kann ich dir auf jeden fall schon mal verraten dass du enorme vorteile mit der regel von cramer hast wenn der b vector
5:30 so ein einheits sektor ist sowas wie 00 10 10 oder 100 das wirst du gleich sehen wenn du diesen sektor in die koeffizienten matrix einträgt dann
5:38 lassen sich nämlich die determinanten unglaublich einfach mit dem der plastische entwicklung satz bestimmen okay aber zuallererst mal wollen wir
5:45 wieder dieses lineare gleichungen system in die matrix vector formen das heißt zuerst mal schreiben wir alle koeffizienten also alle vier faktoren
5:56 von diesen xl in eine matrix heim die sogenannte koeffizienten matrix das ganze wird mit dem x-factor multipliziert und er gibt auf der
6:06 anderen seite diesen b vector nun 1 und wir haben gesagt das erste was du rechnerisch machen solltest ist die determinante dieser koeffizienten matrix
6:16 zu bestimmen denn entweder ist sie gleich null dann können wir sowieso nicht mit der regel von karma arbeiten oder sie ist nicht nur dann können wir
6:25 das ergebnis auch gleich für die einzelnen lösungen verwenden ok los geht's wir brauchen die determinante von dieser matrix ihren
6:35 an dieser stelle hast du mehrere möglichkeiten meine empfehlung ist bei einer voll besetzten matrix also wenn er nicht eine
6:42 einzige 0 drin vorkommt ganz einfach mit der regel von zurückzuarbeiten du kannst aber auch ganz einfach mit dem ablassen entwicklungsarbeiten der ist allgemein
6:51 gültiger für die regel von ca schreibt einfach die ersten beiden spalten nochmal neben diese matrix als kleine gedächtnisstütze
6:59 du kannst es aber auch gerne im kopf behalten und im kopf ausrechnen gar kein problem jetzt multipliziere einfach von links oben nach rechts unten diese
7:08 diagonal zweimal - fünf mal sieben das sind minus 35 mit 2 - 70 dann diese diagonale das ist zwölfmal -
7:21 11 - 12 und diese diagonale das ist eine - einst und jetzt zieht das produkt von diesen diagonalen ab die von links unten nach
7:33 rechts oben gehen oder anders gesagt bilder einfach das produkt und schreibe diese produkte mit geänderten vorzeichen auf bedeutet ja abziehen anderen
7:41 vorzeichen das mal dem all dem ist eine - 5 ok ich soll - fünf abziehen also plus finden geändert das vorzeichen das x t x dem ist eine 8 gb - 8 das mal dem
7:53 all dem ist eine 21 okay also eine - 21 und jetzt müssen wir die ganze nur noch zusammenfassen und vielleicht kriegen das auch irgendwie schlau hin zum
8:02 beispiel hier - 8 minus 21 minus 29 und das hier ist man bei -30 zusammen mit dem sie schon mal bei einer - 100 das passt ganz gut - 100 und die beiden
8:16 zusammen ergeben eine -7 ok - 107 sind - 107 und diese determinante ist ganz offensichtlich nicht nur das bedeutet wir können direkt mit der regel von
8:26 cramer weiter machen das heißt wir können die lösungen für x1 23 alle der reihe nach bestimmt fangen wir an mit x1 geteilt wird immer durch die
8:36 determinante der ja dieser koeffizient matrix das ist bei uns die - 107 und oben im zähler das ist wichtig um den grachten steht die determinante von
8:47 derselben matrix nur aber das jetzt in der ersten spalte also bei uns in der ersten spalte für x1 der b vector eingetragen werden muss also in der
8:57 ersten spalte steht der b vector 001 und der rest von dieser koeffizienten matrix bleibt unverändert stehen 35 1
9:06 -1 47 sondern dieser stelle kannst du jetzt richtig schön rum tricksen weil du so einen einheits vector hier drin stehen hast aufgrund dieser ganzen
9:17 nullen empfehle ich mit dem la plastischen entwicklungs satz zu arbeiten weil du damit noch schneller an die determinanten ankommst der plastisch
9:27 entwicklungs satz gesagt sucht eine teil oder spalte aus nach der nun entwickeln möchte ist vorzugsweise die mit den meisten 0
9:33 und ergänzte hier so einen vorzeichen stehen also ein schachbrettmuster aus plus und minus es beginnt immer links oben mit einem plus ja und dann neben
9:43 jedem plus ein - neben jedem - ein plus wie am schachbrett na wo neben einem weißen feld ein schwarzes ist neben schwarz und weiß es und so weiter
9:50 plusminus plus das heißt wir haben hier plus einmal die determinante von und darum geht es mir eigentlich dieser zweimal zwei matrix also das heißt
9:59 aufgrund dieses einfachen eines lektors reduziert sich der aufwand daraufhin determinante hiervon zu berechnen 3 x 4 ist mit 12
10:10 - - fünfmal -1 ist eine 5 also es lässt sich tatsächlich ziemlich einfach diese determinante ausrechnet und das ergibt dann insgesamt - 7 geteilt durch ein 107
10:24 das lässt sich auch nicht weiter kürzen denn siemens eine primzahl und ist kein faktor von 104 x2 machen wir genau das gleiche
10:32 spielen wir erstmal bruch auf wobei unten im jänner wieder die - 107 steht und oben im zähler ganz wichtig da schreiben wir
10:41 jetzt die erste und dritte spalte von der koeffizienten matrix ab und ersetzen lediglich die zweite spalte durch diesen b vector na ja genau das
10:54 war die bedeutung von diesem in der ersten spalte also hier in der zweiten spalte tragen wir diesen sektor ein perfekt auch hier können wir wieder mit
11:02 dem la klaas und entwicklungsarbeiten nur achtung das vorzeichen china besagt plus - plus - alles klar das ist eine 1 - das heißt es muss noch das vorzeichen
11:13 geändert werden ja sehr wichtig dass du darauf achtet wir haben also - einmal der determinante von schreiben dass ich noch einmal so ausführlich auf von allen
11:24 werten die über bleiben wenn du diese spalte und diese zeile zu hetzen das element nachdem er gerade entwickeln davon alles in der selben spalt ins
11:33 seite zu halten dann bleiben noch vier werte über 21 - 14 ein klein bisschen übung hast dann kannst du das auch im kopf machen
11:42 wirst du sehen ok vorzeichen wird geändert weil die einst eben hier unten steht und du brauchst du noch die determinante von diesen vier zahlen dann
11:48 wirst du sofort rechnen zwei mal vier ist eine 8 hier ist eine art - die produkt von dieser diagonale 1 - 1 - -1 wird gleich
12:02 wieder zu einer +1 das bedeutet wir haben hier als zweite lösung - 9 geteilt durch ein 107 und das ganze können wir auch schlussendlich noch für x3 machen
12:14 ich habe das mal hierhin x3 hat auch unten im jänner eine minus 107 immer die determinante von dieser koeffizient matrix und oben in zähler da
12:24 steht ihr determinante von na ja schreiben wir diese matrix ab 2 1 - 1 3 - 5 1 und in der dritten spalte als auch x3 ist das fragen wir jetzt diesen b
12:38 vector 0 0 1 1 und auch hier wieder empfehle ich mit dem japanischen entwicklungsarbeiten da wirst du auch wieder mit dem schachbrettmuster aus
12:45 plus und minus aufkommen dass im plus steht und es ist lediglich erforderlich einmal so plus einmal die determinanten dieser zweimal zwei matrix auszurechnen
12:53 also von diesen vier zahlen hier das heißt wir haben - 10 - drei geteilt durch - 107 das ergibt gerade - oder achtung - mit wird damit
13:07 zu einem plus 13 geteilt durch ein 107 und damit ist auch dieses gleichnis system gelöst x1 gleich - 7 107 62 gleich - 9/100 63 gleich 13 107 so
13:22 einfach funktioniert das ganze mit der regie von kramer viel spaß damit und bis zum nächsten mal ich hoffe das video hat er gerade gefallen wenn du dich
13:29 demnächst auf einer matte prüfung vorbereiten muss dann schaue unbedingt mal unter diesem video nach ich habe dort mehrere von meinen online kursen
13:35 verlinkt die sich bestmöglich auf den mathe prüfungen vorbereiten wenn ihr das video weitergeholfen hat und du mich in zukunft unterstützen möchtest dann
13:41 erzählt einfach seinen kommilitonen deinen freunden und seiner familie von mir und abonniert den kanal danke dir