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Funktionen einfach erklärt I musstewissen Mathe

musstewissen Mathe7:26 289.736 Aufrufe veröffentlicht Auf YouTube

Das Wichtigste aus dem Video

Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.

Transkriptautomatisch erstellt · 65 Zeilen
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  1. "Der Verrat der Bilder", so heißt dieses Bild von René Magritte. Man sieht eine Pfeife und darunter steht auf französisch:
  2. "Dies ist keine Pfeife." Später hat er erklärt, dass man diese Pfeife ja nicht stopfen und rauchen kann.
  3. Es ist ja keine echte, sondern eben nur das Bild einer Pfeife. Und genau so ist das hier keine Funktion, sondern nur der Graph,
  4. eine bildliche Darstellung einer Funktion. Aber was sind Funktionen jetzt? Und wie funktionieren sie?
  5. Das erfahrt ihr in diesem Video. In Büchern findet man Definitionen wie:
  6. Alles klar, oder? Nicht wirklich, aber keine Panik, nach diesem Video hoffentlich schon.
  7. Wir haben drei Begriffe zu klären: Fangen wir mit "Zuordnung" an.
  8. Wir ordnen ständig Personen und Dinge zu. Zum Beispiel habe ich von jedem meiner Freunde
  9. eine Adresse eingespeichert. Meine Kontaktliste ordnet also jedem Namen x eine Adresse y zu.
  10. Das kann man sich als Ansammlung von Pfeilen vorstellen. Die Zuordnung alleine hängt aber ein wenig in der Luft.
  11. Um genau zu sein, muss man angeben, wo die Zuordnung startet und wo sie endet.
  12. Das Startgebiet der Zuordnung, aus dem alle x kommen, ist die Definitionsmenge.
  13. Hier ist es die Menge meiner Freunde. Und die Zielmenge ist dann natürlich das Gebiet, in dem alle y liegen,
  14. die von der Zuordnung getroffen werden. Hier zum Beispiel die Menge aller Adressen.
  15. Alles klar so weit? Okay. Jetzt müssen wir uns die Definition noch ein wenig genauer ansehen.
  16. Und dabei ist das, was nicht drin steht, fast noch wichtiger als das, was da steht. Jedem x aus der Definitionsmenge
  17. wird genau ein y aus der Zielmenge zugeordnet. Das heißt, von jedem x geht nur ein einziger Pfeil aus.
  18. Von jedem Freund habe ich nur eine einzige Adresse gespeichert. Nicht auch noch das Ferienhaus auf Mallorca und das Penthaus in New York.
  19. Die Definition verbietet aber nicht, dass dasselbe y in der Zielmenge mehrfach getroffen wird.
  20. Klaus und Gabi sind zum Beispiel schon vor Jahren zusammengezogen. Sie haben also dieselbe Adresse.
  21. Jetzt haben sich die beiden aber getrennt. Klaus übernachtet woanders auf der Couch,
  22. hat aber noch keine neue Adresse. Jetzt hat nicht nur Klaus, sondern auch unsere Zuordnung ein Problem.
  23. Denn jedem x aus der Definitionsmenge muss genau ein y aus der Zielmenge zugeordnet werden.
  24. Klaus hat keine Adresse mehr, wir müssen ihn also vorübergehend aus der Definitionsmenge ausschließen.
  25. Dann geht von jedem Namen aus der Definitionsmenge wieder genau ein Pfeil zu den Adressen.
  26. Niemand verlangt, dass jede Adresse der Zielmenge auch getroffen wird. Wir müssen nur sicherstellen, dass jeder Pfeil auch die Zielmenge trifft.
  27. Dafür macht man die Zielmenge am besten so groß wie möglich. Zusammengefasst können wir uns eine Funktion
  28. also als eine Ansammlung von Pfeilen vorstellen, die von einer Definitionsmenge zu einer Zielmenge gehen.
  29. dabei muss von jedem x aus der Definitionsmenge genau ein Pfeil ausgehen, nicht mehr, nicht weniger.
  30. Es ist aber völlig egal, ob ein y aus der Zielmenge mehrfach oder überhaupt getroffen wird.
  31. Und damit können wir hier aufhören, tschüss. Ach nee, ich hab schon wieder was Wichtiges vergessen: die Zahlen.
  32. Funktionen in der Mathematik unterscheiden sich von dem Adressenbeispiel nur darin,
  33. dass die Definitions- und die Zielmenge aus Zahlen bestehen. In der Regel ist das die Menge der reellen Zahlen
  34. oder, wenn ihr noch nicht so weit seid, die Menge der rationalen Zahlen. Wie können wir eine Funktion beschreiben?
  35. Wir müssen für jede Zahl x den Funktionswert y festlegen. Für jede Zahl einzeln geht das nicht.
  36. Nicht für unendlich viele x-Werte. Was jetzt? Ganz klar, wir brauchen Hilfe.
  37. Am besten eine Maschine, einen Automaten, der das für uns erledigt. Und diese Maschine nennen wir "f" für Funktion.
  38. Oben stecken wir die x-Werte rein und unten kommen die Funktionswerte, also die y-Werte, heraus.
  39. Man schreibt: Und sagt: Der Funktionswert von f an der Stelle 3 ist 8.
  40. Genauso für andere Zahlen. Schauen wir mal nach, was im Inneren der Maschine passiert.
  41. Wir setzen die 3 ein, die Maschine rechnet und heraus kommt der Funktionswert y = 8.
  42. Genauso für jede andere Zahl. Das Geheimnis steckt offenbar in der Formel:
  43. Das nennt man den Funktionsterm. Etwas ausführlicher schreibt man das dann so:
  44. Das ist die Funktionsvorschrift, man sagt: Die Funktion f ordnet dem x den Wert x² - 1 zu. Oder:
  45. Das ist die Funktionsgleichung. Man schreibt manchmal auch kürzer:
  46. Der Funktionsterm legt alle Funktionswerte fest. Er kann sehr einfach oder sehr kompliziert aufgebaut sein.
  47. Und bei manchen gibt es dann Ärger mit dem Definitionsbereich. Es gibt Probleme, wenn bestimmte Rechenschritte nicht klappen.
  48. Das liegt meistens an einem der beiden großen Verbote der Mathematik. Du sollst nicht durch Null teilen!
  49. Du sollst keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen! Zum Beispiel bei:
  50. Für fast alle Zahlen haben wir hier kein Problem. Bei x = 0 versagt die Maschine aber, weil sie durch Null teilen müsste.
  51. Kann man einem Funktionsterm ansehen, was die Funktion tut? Ja, aber dafür braucht man oft Geduld und Erfahrung.
  52. Es gibt aber Hilfsmittel. Die beiden wichtigsten Methoden, um sich Funktionen zu veranschaulichen,
  53. sind die Wertetabelle und der Graph. Für eine Wertetabelle legt man einfach eine Liste von Stellen,
  54. das heißt x-Werten, fest, und berechnet die zugehörigen Funktionswerte. So seht ihr die Veränderung der Funktionswerte
  55. an konkreten Zahlen statt einer abstrakten Formel. Mit der Wertetabelle kann man jetzt den Graphen der Funktion
  56. recht problemlos zeichnen. Dafür fasst man die x- und y-Werte als Koordinaten von Punkten auf
  57. und zeichnet die Punkte in ein Koordinatensystem. Dann versucht man die Punkte auf eine sinnvolle Weise miteinander zu verbinden.
  58. Meistens kommt eine schöne glatte Kurvenlinie dabei heraus. Ein Bild sagt mehr als tausend Worte
  59. und Graphen können viel über Funktionen verraten. Aber Bilder zeigen immer nur einen Ausschnitt
  60. und manchmal geht etwas Wichtiges dabei verloren. Das war unser Einsteigervideo über Funktionen.
  61. Das war jetzt vielleicht ein bisschen theoretisch, aber eine wichtige Grundlage,
  62. wenn ihr euch in Zukunft öfter mit Funktionen beschäftigt. Wenn es euch gefallen hat, lasst doch einen Daumen nach oben da
  63. und wir freuen uns sehr über Vorschläge, wie wir das Thema in Zukunft ausbauen können.
  64. Das Thema Funktion ist ja nahezu unerschöpflich. Schreibt uns, was ihr denkt. Bis dann.
  65. Untertitel im Auftrag des ZDF für funk, 2017

Zum Nachlesen

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