Funktionen einfach erklärt I musstewissen Mathe
musstewissen Mathe
https://www.youtube.com/watch?v=ng1-04ka2Zs

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 "Der Verrat der Bilder", so heißt dieses Bild von René Magritte. Man sieht eine Pfeife und darunter steht auf französisch:
0:08 "Dies ist keine Pfeife." Später hat er erklärt, dass man diese Pfeife ja nicht stopfen und rauchen kann.
0:14 Es ist ja keine echte, sondern eben nur das Bild einer Pfeife. Und genau so ist das hier keine Funktion, sondern nur der Graph,
0:23 eine bildliche Darstellung einer Funktion. Aber was sind Funktionen jetzt? Und wie funktionieren sie?
0:29 Das erfahrt ihr in diesem Video. In Büchern findet man Definitionen wie:
0:45 Alles klar, oder? Nicht wirklich, aber keine Panik, nach diesem Video hoffentlich schon.
0:51 Wir haben drei Begriffe zu klären: Fangen wir mit "Zuordnung" an.
1:00 Wir ordnen ständig Personen und Dinge zu. Zum Beispiel habe ich von jedem meiner Freunde
1:04 eine Adresse eingespeichert. Meine Kontaktliste ordnet also jedem Namen x eine Adresse y zu.
1:12 Das kann man sich als Ansammlung von Pfeilen vorstellen. Die Zuordnung alleine hängt aber ein wenig in der Luft.
1:21 Um genau zu sein, muss man angeben, wo die Zuordnung startet und wo sie endet.
1:26 Das Startgebiet der Zuordnung, aus dem alle x kommen, ist die Definitionsmenge.
1:32 Hier ist es die Menge meiner Freunde. Und die Zielmenge ist dann natürlich das Gebiet, in dem alle y liegen,
1:39 die von der Zuordnung getroffen werden. Hier zum Beispiel die Menge aller Adressen.
1:44 Alles klar so weit? Okay. Jetzt müssen wir uns die Definition noch ein wenig genauer ansehen.
1:50 Und dabei ist das, was nicht drin steht, fast noch wichtiger als das, was da steht. Jedem x aus der Definitionsmenge
1:58 wird genau ein y aus der Zielmenge zugeordnet. Das heißt, von jedem x geht nur ein einziger Pfeil aus.
2:05 Von jedem Freund habe ich nur eine einzige Adresse gespeichert. Nicht auch noch das Ferienhaus auf Mallorca und das Penthaus in New York.
2:14 Die Definition verbietet aber nicht, dass dasselbe y in der Zielmenge mehrfach getroffen wird.
2:20 Klaus und Gabi sind zum Beispiel schon vor Jahren zusammengezogen. Sie haben also dieselbe Adresse.
2:26 Jetzt haben sich die beiden aber getrennt. Klaus übernachtet woanders auf der Couch,
2:31 hat aber noch keine neue Adresse. Jetzt hat nicht nur Klaus, sondern auch unsere Zuordnung ein Problem.
2:38 Denn jedem x aus der Definitionsmenge muss genau ein y aus der Zielmenge zugeordnet werden.
2:44 Klaus hat keine Adresse mehr, wir müssen ihn also vorübergehend aus der Definitionsmenge ausschließen.
2:51 Dann geht von jedem Namen aus der Definitionsmenge wieder genau ein Pfeil zu den Adressen.
2:56 Niemand verlangt, dass jede Adresse der Zielmenge auch getroffen wird. Wir müssen nur sicherstellen, dass jeder Pfeil auch die Zielmenge trifft.
3:05 Dafür macht man die Zielmenge am besten so groß wie möglich. Zusammengefasst können wir uns eine Funktion
3:12 also als eine Ansammlung von Pfeilen vorstellen, die von einer Definitionsmenge zu einer Zielmenge gehen.
3:19 dabei muss von jedem x aus der Definitionsmenge genau ein Pfeil ausgehen, nicht mehr, nicht weniger.
3:25 Es ist aber völlig egal, ob ein y aus der Zielmenge mehrfach oder überhaupt getroffen wird.
3:32 Und damit können wir hier aufhören, tschüss. Ach nee, ich hab schon wieder was Wichtiges vergessen: die Zahlen.
3:40 Funktionen in der Mathematik unterscheiden sich von dem Adressenbeispiel nur darin,
3:45 dass die Definitions- und die Zielmenge aus Zahlen bestehen. In der Regel ist das die Menge der reellen Zahlen
3:51 oder, wenn ihr noch nicht so weit seid, die Menge der rationalen Zahlen. Wie können wir eine Funktion beschreiben?
3:58 Wir müssen für jede Zahl x den Funktionswert y festlegen. Für jede Zahl einzeln geht das nicht.
4:05 Nicht für unendlich viele x-Werte. Was jetzt? Ganz klar, wir brauchen Hilfe.
4:10 Am besten eine Maschine, einen Automaten, der das für uns erledigt. Und diese Maschine nennen wir "f" für Funktion.
4:19 Oben stecken wir die x-Werte rein und unten kommen die Funktionswerte, also die y-Werte, heraus.
4:24 Man schreibt: Und sagt: Der Funktionswert von f an der Stelle 3 ist 8.
4:32 Genauso für andere Zahlen. Schauen wir mal nach, was im Inneren der Maschine passiert.
4:37 Wir setzen die 3 ein, die Maschine rechnet und heraus kommt der Funktionswert y = 8.
4:44 Genauso für jede andere Zahl. Das Geheimnis steckt offenbar in der Formel:
4:51 Das nennt man den Funktionsterm. Etwas ausführlicher schreibt man das dann so:
4:57 Das ist die Funktionsvorschrift, man sagt: Die Funktion f ordnet dem x den Wert x² - 1 zu. Oder:
5:07 Das ist die Funktionsgleichung. Man schreibt manchmal auch kürzer:
5:14 Der Funktionsterm legt alle Funktionswerte fest. Er kann sehr einfach oder sehr kompliziert aufgebaut sein.
5:22 Und bei manchen gibt es dann Ärger mit dem Definitionsbereich. Es gibt Probleme, wenn bestimmte Rechenschritte nicht klappen.
5:29 Das liegt meistens an einem der beiden großen Verbote der Mathematik. Du sollst nicht durch Null teilen!
5:38 Du sollst keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen! Zum Beispiel bei:
5:45 Für fast alle Zahlen haben wir hier kein Problem. Bei x = 0 versagt die Maschine aber, weil sie durch Null teilen müsste.
5:54 Kann man einem Funktionsterm ansehen, was die Funktion tut? Ja, aber dafür braucht man oft Geduld und Erfahrung.
6:01 Es gibt aber Hilfsmittel. Die beiden wichtigsten Methoden, um sich Funktionen zu veranschaulichen,
6:07 sind die Wertetabelle und der Graph. Für eine Wertetabelle legt man einfach eine Liste von Stellen,
6:15 das heißt x-Werten, fest, und berechnet die zugehörigen Funktionswerte. So seht ihr die Veränderung der Funktionswerte
6:23 an konkreten Zahlen statt einer abstrakten Formel. Mit der Wertetabelle kann man jetzt den Graphen der Funktion
6:30 recht problemlos zeichnen. Dafür fasst man die x- und y-Werte als Koordinaten von Punkten auf
6:36 und zeichnet die Punkte in ein Koordinatensystem. Dann versucht man die Punkte auf eine sinnvolle Weise miteinander zu verbinden.
6:44 Meistens kommt eine schöne glatte Kurvenlinie dabei heraus. Ein Bild sagt mehr als tausend Worte
6:50 und Graphen können viel über Funktionen verraten. Aber Bilder zeigen immer nur einen Ausschnitt
6:56 und manchmal geht etwas Wichtiges dabei verloren. Das war unser Einsteigervideo über Funktionen.
7:04 Das war jetzt vielleicht ein bisschen theoretisch, aber eine wichtige Grundlage,
7:08 wenn ihr euch in Zukunft öfter mit Funktionen beschäftigt. Wenn es euch gefallen hat, lasst doch einen Daumen nach oben da
7:14 und wir freuen uns sehr über Vorschläge, wie wir das Thema in Zukunft ausbauen können.
7:19 Das Thema Funktion ist ja nahezu unerschöpflich. Schreibt uns, was ihr denkt. Bis dann.
7:23 Untertitel im Auftrag des ZDF für funk, 2017