Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Was ist Stetigkeit? - Stetigkeit an der Uni
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 43 Zeilen
- jeder der Auto fährt weiß in ein schlagluch fahren ist nichts gut weil da mal plötzlich die Straße weg ist unter einem was das mit Mathe zu tun hat gibt
- auch Funktionen die plötzlich woanders weitergehen und die schauen wir uns heute [Musik]
- an irgendwann ist mal ein Mathematiker drauf gekommen e manche Funktionen sind anders als andere manche haben so einen Sprung drin bei denen muss ich beim
- zeichnen den Stift absetzen bei anderen aber nicht wie könnte ich die Eigenschaft nennen ihr werdet erraten haben das war die erste ziemlich
- ungenaue Definition für Stetigkeit wenn man den Grafen ohne den Stift abzusetzen malen kann ist die Funktion stetig und stetig sind alle wo man mal irgendwo den
- Stift woanders hinsetzen muss was ihr genauso erraten habt wären hier ja nicht im Studium wenn so einfach geblieben wäre deswegen erklären wir euch gleich
- die formale Definition apropos wir schauen uns in dem Video hier mal alle Funktionen von den reellen auf die reellen Zahlen an warum ist die
- Definition mit dem Stift absetzen nicht ausreichend dazu zwei Gegenbeispiele die Funktion hier ist z.B stetig durchzeichnen geht trotzdem nicht die
- Funktion bei der irrationale Zahlen einen anderen Funktionswert als rationale haben wäre unstetig obwohl ihr die Linie immer durchzieht egal wie dünn
- euer Stift ist deswegen hat man sich was anderes überlegen müssen wie man Stetigkeit definiert zwei haben sich da auch was überlegt dieser Kosi war
- natürlich einer davon die haben sich dann gedacht man sucht sich eine Stelle auf der x-Achse raus und guckt dann eine zweite Stelle an die man immer näher an
- die erste Stelle ranrückt wenn dann der y WT von der zweiten Stelle auch immer näher an den von der ersten Stelle rangeht ist die Funktion an der Stelle
- stetig das ist im Prinzip das was man als ohne absetzen beim Stift gemeint hat da sind keine Sprünge in Y Richtung drin übrigens wenn xbereiche ausgelassen
- werden in der Funktionsdefinition dann macht das gar nichts wie bei unserer Funktion von gerade eben da sind ja alle reellen Zahlen außer der Bereich wo der
- Betrag von X kleiner als 1 ist aber trotzdem ist die Funktion steätisch haben wir ja gesagt warum weil sich die Definition von Stetigkeit immer nur auf
- Sprünge nach oben oder unten bei dem gleichen x bezieht wenn das X gar nicht erst in der Funktionsdefinition drin ist dann ist das halt scheißegal und es muss
- auch nicht betrachtet werden was wäre dann nicht stetig wenn die y Werte nicht näher aneinander gehen egal wie nahe man die X zusammennimmt also die beiden
- Funktionswerte nur dann keinen Abstand mehr haben wenn ihr das gleiche x nehmt zweimal dann wä die Funktion an der Stelle nicht stetig dazu auch ein
- Beispiel das ist die sogenannte heavyside Funktion die ist 1 für alle x größer g=ich 0 und für alle unter Null einfach 0 stetig ist die fast überall
- aber bei der Null geht's plötzlich hoch riecht ja verdächtig nach Unstetigkeit und Tatsache nehmt euch als erstes x mal die 0 egal welches x ihr weiter links
- nehmt die beiden y sind immer eins weit auseinander ihr könnt das X1 so nah an die Null ranfahren wie ihr wollt F von X1 wird erst bei der ull selbst ein
- vorher ist es die ganze Zeit Null also egal wie enger mit dem X von unten an die ull rangeht eure ys gehen nicht näher aneinander ran also richtig nicht
- steätig geil jetzt haben wir die genaue Definition von steätigkeit auch abgehakt aber wirklich mathematisch war das auch nicht deswegen jetzt noch mal eine
- Definition mit einem alten Freund dem Limes wisst ihr noch was der Limes war falls nein schaut euch die zwei Videos zum Limes noch mal an trotzdem kleine
- Wiederholung wenn man x gegen eine Stelle laufen lässt und dann der Funktionswert gegen irgendeinen Wert geht der rechtseitige Grenzwert ist es
- wenn man mit den größeren Zahlen als die Stelle anfängt und dann auf dem Zahlenstrahl von rechts kommt genauso gibt's einen linksseitigen Grenzwert
- wenn man sich halt von unten an die Grenze ranchafft die beiden Grenzwerte müssen überhaupt nicht gleich groß sein sind beide Grenzwerte an der Stelle aber
- gleich dann heißt der Wert einfach nur Grenzwert und man schreibt das als ganz normalen limis mit wahgerechtem Pfeil ja das ganze brauchen wir bei der
- Stetigkeit wir wollen ja gucken ob der Funktionswert gegen den ywert bei der Stelle geht wenn unser x gegen eine Stelle geht stehtig in der Stelle s
- heißt eine Funktion also wenn das gilt wir lassen unser x gegen S laufen jetzt muss auch unser Funktionswert gegen den Funktionswert von der Stelle s laufen
- also der Limes von X gegen S von F von x muss dann dem y Wert bei S entsprechen achtung wir hatten ja hier gesagt dass man von beiden Seiten auf einen Wert
- zulaufen kann und manchmal ist eine Funktion von einer Seite stetig von anderen aber nicht deswegen muss der Grenzwert von beiden Seiten der gleiche
- Wert sein und auch gleich dem y Wert an unserer Stelle das noch mal am Beispiel der heavyside Funktion wir wollen mal prüfen ob die an der Stelle Null stätig
- ist also S = 0 F von S ist ja F von0 also 1 nimmt ihr aber irgendein x unter 0 ist der Funktionswert ja 0 egal wie nah man an die Null geht immer kommt da
- ull raus seht ihr ja links in der Skizze also wä auch der limis wenn man von unten kommt immer ull aber das ist ja wohl ungleich unserem F von0 weil F von0
- war 1 deswegen ist die Funktion da wirklich nicht stetig hätte man aber den rechtseitigen limis gemacht also mit Zahlen über Null immer näher an die Null
- hätte es gepasst weil über der Null ja alle Zahlen eins sind also ist auch der limis von oben ein und das ist ja unser Wert von F von0 von oben wird man also
- denken die Funktion wä stetig von unten aber nicht als Ganzes betrachtet bleibt unsere Funktion also unstetig liegt da dran dass die Grenzwerte von links und
- rechts nicht gleich sind ach ja so eine Funktion die von einer Seite steätig ist aber von der anderen nicht heißt halbstätig und wenn sie von gar keiner
- Seite steätig ist halt unstetig nur wenn eine Funktion an der Stelle von beiden Seiten den gleichen Grenzwert hat und der auch noch der y Wert von der Stelle
- ist dann ist die Funktion stetig wir haben uns jetzt nur ganz spezielle Funktionen angeguckt nämlich welche die von den reellen Zahlen auf die reellen
- Zahlen gehen was ist bei anderen anders was bleibt gleich das sind noch zwei Beispiele dazu seht ihr im nächsten Video einfach hier rechts klicken Link
- ist auch in der Beschreibung bis DAH immer schön kneipentur machen haut rein und mach's gut ciao
Zum Nachlesen
Links- und rechtsseitige StetigkeitMathematisch wird einseitige Stetigkeit mithilfe von einseitigen Grenzwerten beschrieben. Ein einseitiger Grenzwert nähert sich dem Wert nur von einer Seite, …
UnstetigkeitsstelleIn der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, wird eine Funktion innerhalb ihres Definitionsbereichs überall dort als unstetig bezeichnet, …
Stetige FunktionIn der Mathematik ist eine stetige Abbildung oder stetige Funktion eine Funktion, bei der hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine …
DefinitionslückeDie Definitionslücken einer Funktion lassen sich klassifizieren und gegebenenfalls „reparieren“, so dass die Funktion dort mit den gewünschten Eigenschaften …