Links- und rechtsseitige Stetigkeit

Grundidee

Links- und rechtsseitige Stetigkeit beschreibt die Eigenschaft einer Funktion, an einem Punkt nur von einer Seite aus stetig zu sein. Statt Stetigkeit insgesamt zu betrachten, teilt man die Bedingung „keine Sprünge“ in zwei Richtungen auf: von links kommend und von rechts kommend.

Die mathematische Grundlage sind einseitige Grenzwerte. Ein linksseitiger Grenzwert betrachtet Werte von x, die sich dem Punkt x₀ von links nähern. Ein rechtsseitiger Grenzwert betrachtet Werte von x, die sich x₀ von rechts nähern.

Definition

Eine Funktion f heißt linksseitig stetig in einem Punkt ihres Definitionsbereichs x₀ ∈ D_f ⊆ ℝ, wenn für den linksseitigen Grenzwert gilt:

limₓ→ₓ₀₋ f(x) = f(x₀)

Das bedeutet: Wenn x sich von links dem Punkt x₀ nähert, nähern sich die Funktionswerte f(x) dem tatsächlichen Funktionswert f(x₀).

Äquivalente Beschreibungen

Linksseitige Stetigkeit in x₀ kann auch anders, aber gleichbedeutend beschrieben werden: Die Einschränkung von f auf ]−∞, x₀] ∩ D_f ist in x₀ stetig.

Ebenfalls äquivalent ist eine Folgenbedingung: Für alle streng monoton steigenden Folgen (aₙ)ₙ∈ℕ in D_f gilt:

(aₙ)ₙ∈ℕ → x₀ ⟹ (f(aₙ))ₙ∈ℕ → f(x₀)

Eine streng monoton steigende Folge nähert sich dabei dem Punkt x₀ von links.

Rechtsseitige Stetigkeit und Stetigkeit

Rechtsseitige Stetigkeit wird analog definiert, zum Beispiel mit streng monoton fallenden Folgen, die sich dem Punkt x₀ von rechts nähern.

Eine Funktion f ist genau dann in x₀ stetig, wenn sie in x₀ sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist. Diese Unterscheidung hilft dabei, Unstetigkeitsstellen zu klassifizieren.

Manche Autoren kürzen die Begriffe ab: linksseitig stetig heißt dann linksstetig, rechtsseitig stetig heißt rechtsstetig.

Beispiele

Die Heaviside-Funktion ist in 0 rechtsseitig stetig, aber nicht linksseitig stetig.

Die Vorzeichenfunktion ist in 0 weder linksseitig noch rechtsseitig stetig.