Was ist Stetigkeit? - Stetigkeit an der Uni
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=fWTv95JNb8Q

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 jeder der Auto fährt weiß in ein schlagluch fahren ist nichts gut weil da mal plötzlich die Straße weg ist unter einem was das mit Mathe zu tun hat gibt
0:09 auch Funktionen die plötzlich woanders weitergehen und die schauen wir uns heute [Musik]
0:18 an irgendwann ist mal ein Mathematiker drauf gekommen e manche Funktionen sind anders als andere manche haben so einen Sprung drin bei denen muss ich beim
0:30 zeichnen den Stift absetzen bei anderen aber nicht wie könnte ich die Eigenschaft nennen ihr werdet erraten haben das war die erste ziemlich
0:38 ungenaue Definition für Stetigkeit wenn man den Grafen ohne den Stift abzusetzen malen kann ist die Funktion stetig und stetig sind alle wo man mal irgendwo den
0:47 Stift woanders hinsetzen muss was ihr genauso erraten habt wären hier ja nicht im Studium wenn so einfach geblieben wäre deswegen erklären wir euch gleich
0:54 die formale Definition apropos wir schauen uns in dem Video hier mal alle Funktionen von den reellen auf die reellen Zahlen an warum ist die
1:02 Definition mit dem Stift absetzen nicht ausreichend dazu zwei Gegenbeispiele die Funktion hier ist z.B stetig durchzeichnen geht trotzdem nicht die
1:11 Funktion bei der irrationale Zahlen einen anderen Funktionswert als rationale haben wäre unstetig obwohl ihr die Linie immer durchzieht egal wie dünn
1:19 euer Stift ist deswegen hat man sich was anderes überlegen müssen wie man Stetigkeit definiert zwei haben sich da auch was überlegt dieser Kosi war
1:28 natürlich einer davon die haben sich dann gedacht man sucht sich eine Stelle auf der x-Achse raus und guckt dann eine zweite Stelle an die man immer näher an
1:37 die erste Stelle ranrückt wenn dann der y WT von der zweiten Stelle auch immer näher an den von der ersten Stelle rangeht ist die Funktion an der Stelle
1:46 stetig das ist im Prinzip das was man als ohne absetzen beim Stift gemeint hat da sind keine Sprünge in Y Richtung drin übrigens wenn xbereiche ausgelassen
1:56 werden in der Funktionsdefinition dann macht das gar nichts wie bei unserer Funktion von gerade eben da sind ja alle reellen Zahlen außer der Bereich wo der
2:04 Betrag von X kleiner als 1 ist aber trotzdem ist die Funktion steätisch haben wir ja gesagt warum weil sich die Definition von Stetigkeit immer nur auf
2:13 Sprünge nach oben oder unten bei dem gleichen x bezieht wenn das X gar nicht erst in der Funktionsdefinition drin ist dann ist das halt scheißegal und es muss
2:22 auch nicht betrachtet werden was wäre dann nicht stetig wenn die y Werte nicht näher aneinander gehen egal wie nahe man die X zusammennimmt also die beiden
2:32 Funktionswerte nur dann keinen Abstand mehr haben wenn ihr das gleiche x nehmt zweimal dann wä die Funktion an der Stelle nicht stetig dazu auch ein
2:41 Beispiel das ist die sogenannte heavyside Funktion die ist 1 für alle x größer g=ich 0 und für alle unter Null einfach 0 stetig ist die fast überall
2:50 aber bei der Null geht's plötzlich hoch riecht ja verdächtig nach Unstetigkeit und Tatsache nehmt euch als erstes x mal die 0 egal welches x ihr weiter links
3:00 nehmt die beiden y sind immer eins weit auseinander ihr könnt das X1 so nah an die Null ranfahren wie ihr wollt F von X1 wird erst bei der ull selbst ein
3:10 vorher ist es die ganze Zeit Null also egal wie enger mit dem X von unten an die ull rangeht eure ys gehen nicht näher aneinander ran also richtig nicht
3:19 steätig geil jetzt haben wir die genaue Definition von steätigkeit auch abgehakt aber wirklich mathematisch war das auch nicht deswegen jetzt noch mal eine
3:28 Definition mit einem alten Freund dem Limes wisst ihr noch was der Limes war falls nein schaut euch die zwei Videos zum Limes noch mal an trotzdem kleine
3:37 Wiederholung wenn man x gegen eine Stelle laufen lässt und dann der Funktionswert gegen irgendeinen Wert geht der rechtseitige Grenzwert ist es
3:45 wenn man mit den größeren Zahlen als die Stelle anfängt und dann auf dem Zahlenstrahl von rechts kommt genauso gibt's einen linksseitigen Grenzwert
3:52 wenn man sich halt von unten an die Grenze ranchafft die beiden Grenzwerte müssen überhaupt nicht gleich groß sein sind beide Grenzwerte an der Stelle aber
4:00 gleich dann heißt der Wert einfach nur Grenzwert und man schreibt das als ganz normalen limis mit wahgerechtem Pfeil ja das ganze brauchen wir bei der
4:10 Stetigkeit wir wollen ja gucken ob der Funktionswert gegen den ywert bei der Stelle geht wenn unser x gegen eine Stelle geht stehtig in der Stelle s
4:18 heißt eine Funktion also wenn das gilt wir lassen unser x gegen S laufen jetzt muss auch unser Funktionswert gegen den Funktionswert von der Stelle s laufen
4:27 also der Limes von X gegen S von F von x muss dann dem y Wert bei S entsprechen achtung wir hatten ja hier gesagt dass man von beiden Seiten auf einen Wert
4:36 zulaufen kann und manchmal ist eine Funktion von einer Seite stetig von anderen aber nicht deswegen muss der Grenzwert von beiden Seiten der gleiche
4:44 Wert sein und auch gleich dem y Wert an unserer Stelle das noch mal am Beispiel der heavyside Funktion wir wollen mal prüfen ob die an der Stelle Null stätig
4:53 ist also S = 0 F von S ist ja F von0 also 1 nimmt ihr aber irgendein x unter 0 ist der Funktionswert ja 0 egal wie nah man an die Null geht immer kommt da
5:05 ull raus seht ihr ja links in der Skizze also wä auch der limis wenn man von unten kommt immer ull aber das ist ja wohl ungleich unserem F von0 weil F von0
5:15 war 1 deswegen ist die Funktion da wirklich nicht stetig hätte man aber den rechtseitigen limis gemacht also mit Zahlen über Null immer näher an die Null
5:24 hätte es gepasst weil über der Null ja alle Zahlen eins sind also ist auch der limis von oben ein und das ist ja unser Wert von F von0 von oben wird man also
5:34 denken die Funktion wä stetig von unten aber nicht als Ganzes betrachtet bleibt unsere Funktion also unstetig liegt da dran dass die Grenzwerte von links und
5:44 rechts nicht gleich sind ach ja so eine Funktion die von einer Seite steätig ist aber von der anderen nicht heißt halbstätig und wenn sie von gar keiner
5:53 Seite steätig ist halt unstetig nur wenn eine Funktion an der Stelle von beiden Seiten den gleichen Grenzwert hat und der auch noch der y Wert von der Stelle
6:01 ist dann ist die Funktion stetig wir haben uns jetzt nur ganz spezielle Funktionen angeguckt nämlich welche die von den reellen Zahlen auf die reellen
6:09 Zahlen gehen was ist bei anderen anders was bleibt gleich das sind noch zwei Beispiele dazu seht ihr im nächsten Video einfach hier rechts klicken Link
6:17 ist auch in der Beschreibung bis DAH immer schön kneipentur machen haut rein und mach's gut ciao