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Mathe ABITUR Aufgabe – Geraden und Ebenen (Analytische Geometrie, Vektoren)
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 64 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute habe ich euch wieder mal eine Aufgabe mitgebracht die so auch im Mathe Abitur vorkommen könnte und zwar in dem Hilfsmittel freien Teil
- also dem Teil in dem man keinen Taschenrechner benutzen darf gehen wir mal gemeinsam rein in die Aufgabe gegeben sind die Gerade g und die Ebene
- E die Ebenengleichung bekommen wir hier die Geradengleichung steht hier Teller begründe das G senkrecht zu e steht und Teil B kümmern wir uns gleich gehen wir
- erstmal einen Teil A rein vielleicht machen wir uns erstmal das Skizze wir bekommen eine Ebene gegeben die wir einfach mal so zeichnen das ist unsere
- Ebene E und die gerade gehe da sollen wir zeigen dass sie senkrecht zu Ehe steht dann zeichnen wir diese gerade halt auch schon mal senkrecht zu der
- Ebene also hier so schön runter das wäre unsere gerade gehen die soll senkrecht auf unserer Ebene stehen so wie zeigen wir das jetzt
- naja von einer Geraden wird uns da der Richtungsvektor helfen denn der entscheidet ja in welche Richtung unsere gerade zeigt das wäre hier das ist der
- Richtungsvektor der hier bei dem Parameter ja steht der sagt uns unsere gerade zeigt in diese Richtung hier und von einer Ebene vor allem wenn sich hier
- in Koordinatenform gegeben ist da wird uns der normalen Vektor helfen denn der normalen Vektor der ist super praktisch denn von dem wissen wir dass er immer
- automatisch senkrecht auf einer Ebene steht und diesen normalen Vektor den können wir auslesen diese Form ist nämlich perfekt dafür geeignet und zwar
- sind das einfach nur die Zahlen die vor X1 vor X2 und vor X3 stehen also die Zahl die vor X1 steht ist die drei das ist die erste Koordinate vom normalen
- Weg war die Zahl die vor X2 steht es kommt hier gar kein X2 vor deswegen musste eine 0 vorne dran stehen denn die sind Null lässt das X2 dann verschwinden
- und die Zahlen die vor dem X3 steht das ist hier diese minus 1 also wenn er keine Zahl zu sehen ist ist eine 1 mit Vorzeichen das ist unser normalen Vektor
- also in diese Richtung zeigt der normalen Vektor und wenn wir den jetzt mal vergleichen mit dem Richtungsvektor von der Geraden dann sind die identisch
- das heißt die zeigen in dieselbe Richtung und das bedeutet die gerade steht genau so zu der Ebene wie der normalen Vektor weißt du dieselbe
- Richtung ist und da der normalen Vektor senkrecht steht die gerade damit auch senkrecht auf der Ebene und das war's schon also die der Richtungsvektor und
- der normalen Vektor die sind linear abhängig zeigen also die selbe Richtung und ja damit haben wir halt auch schon erledigt Teil B
- die Gerade h okay jetzt kommt der neue gerade die hatten wir noch nicht hat mit E keinen gemeinsamen Punkt es gibt gerade die in eh liegen und parallel zu
- haben bestimme eine Gleichung derjenigen dieser Geraden die von H den kleinsten Abstand hat viel Informationen die
- Gerade h bekommen wir vielleicht machen wir uns erstmal eine Skizze und zwar geht's schon wieder um die Ebene von eben die können wir schon mal
- einzeichnen und diesmal geht es aber um eine neue gerade und zwar die Gerade h die soll jetzt mit dieser Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben das heißt wie
- muss diese gerade haben zu unserer Ebene liegen sie kann sie nicht so in einem Punkt schneiden denn dann hätten sie einen gemeinsamen Punkt diese gerade
- kann auch nicht in der Ebene liegen denn sonst hatte sie sehr viele gemeinsamen Punkte deswegen muss diese gerade über dieser Ebene schweben und zwar parallel
- eben verlaufen zu der Ebene dann haben sie keinen gemeinsamen Punkt dann geht es weiter hier im Satz es gibt geraden die in eh liegen und parallel zu Haar
- verlaufen okay die gibt's also parallel zu dieser Geraden aber nicht hier oben irgendwo sondern in der Ebene das wäre zum Beispiel die da die da oder die da
- gibt's ja ganz viele die parallel hier zu verlaufen und in der Ebene hier unten drin liegen wir sollen jetzt eine Gleichung derjenigen dieser Geraden
- aufstellen die von Haar den kleinsten Abstand hat also die Abstände von Haar zu diesen geraden die sind ja unterschiedlich wenn wir dem einzeichnen
- also von Haar zu der da hinten ist z.B so weit weg von Haar zu der da vorne ist so weit weg und den kleinsten Abstand finden wir natürlich wenn wir senkrecht
- nach unten laufen ne also wenn wir die gerade finden die exakt senkrecht sozusagen von oben blickend direkt unter der Geraden Haar liegt und das ist
- unsere Aufgabe jetzt diese gerade zu finden ich mache mal noch mal alles weg dass wir hier nicht so ein Chaos haben und zeichnet die gerade ein
- die hier so senkrecht unten drunter liegen soll ich nenne die einfach mal J dass wir die suchen wenn wir eine Geradengleichung von J aufstellen wollen
- so wie ich hier also x = dann brauchen wir einen Aufpunkt also ein Punkt von dem wir wissen dass er auf unserer geraden liegt + ja jetzt braucht
- man Buchstaben er gab es schon es gab es schon mach mal Tee dahin einen zweiten Vektor ein Richtungsvektor der sagt in welche Richtung diese gerade zeigt und
- das Tee soll dann einfach nur Element der reellen Zahlen sein das Schreiben noch hinten dran so vielleicht schlafen wir mit dem
- Richtungsvektor dann ist es gar nicht schwierig in welche Richtung soll denn diese gerade J zeigen die soll parallel zu der Geraden Haar verlaufen das heißt
- sie sollen in dieselbe Richtung zeigen das bedeutet wir können einfach den Richtungsvektor von der Geraden Haar übernehmen also diese 1 2 3 Vektor den
- schnappen wir uns und basteln den hier rein und dann haben wir schon mal ein Richtungsvektor von unserer gesuchten geraden
- schwieriger wird es den Punkt zu finden der jetzt noch fehlt also einen Punkt von dem wir wissen dass er auf dieser Geraden J liegt vielleicht starten wir
- erstmal bei der Geraden h also von der kennen wir einen Punkt dieser 733 Punkt der ist gegeben dann zeichne ich jetzt einfach mal hier ein
- jetzt haben wir ja gesagt der Plan ist es von unserer geraden loszulaufen und senkrecht nach unten zu laufen so dass wir dann hier letztendlich landen wenn
- wir diesen Punkt hier berechnen könnten denen ich mal es dann hätten wir einen Punkt von unserer geraden den wir noch suchen also das ist unser Ziel wir
- können also von diesem 733 Punkt loslaufen und bräuchten eine gerade die hier durchläuft und senkrecht zur Ebene steht mit der könnten wir diesen
- Schnittpunkt hier berechnen kennen wir denn eine Gerade die durch sieben drei drei läuft und ähm senkrecht auf der Ebene steht wir kennen eine gerade die
- senkrecht auf der Ebene steht das war unsere gerade gehen das haben wir schon Teil angezeigt aber schaut mal wie praktisch die läuft ja sogar noch durch
- 37 also das ist so konzipiert dass diese gerade praktischerweise wirklich exakt durch diesen Punkt hier oben läuft und das heißt uns senkrecht auf der Ebene
- steht das heißt unser Ziel ist es jetzt nur noch diesen Schnittpunkt auszurechnen das heißt den Schnittpunkt von dieser Geraden g mit der Ebene E und
- das ist das Einzige was wir jetzt noch tun müssen denn wenn wir diesen Schnittpunkt gefunden haben dann landet der hier in unserer Geradengleichung
- also Schnittpunkt von G und e berechnen das geht das eh wir können die Gerade g einfach in die gerade eh einsetzen und zwar haben wir hier die Koordinate X1
- die müssen wir jetzt hier von der Geraden auch irgendwo finden irgendwo muss hier X1 versteckt sein das ist hier in diesem kleinen x-vektor versteckt
- denn der besteht ja aus der Koordinate x1x2 und X3 also eigentlich könnte man das auch so hinschreiben und X1 da ist es ist einfach die erste Zeile von der
- rechten Seite also 7 + ärm mal drei also in die Ebene ein da steht dann drei Mal statt X1 setzen wir jetzt hier X1 von der Geraden ein 7 plus
- R mal 3 also 7 plus 3R Minus und die X3 Koordinate die finden wir hier unten in der dritten Zeile 3 + R mal minus 1 also 3
- R mal -1 sind dann minus R und dann steht da nur noch gleich minus zwei also einfach die gerade in die Ebene einsetzen und jetzt haben wir nur noch
- eine Gleichung in der kommt nur noch R vor und die lösen wir jetzt mal nach er auf das heißt auflösen dreimal sieben sind 21
- dreimal drei R sind 9R - klammer auflösen -3 und - und - sind dann plus er dann alle erst zusammenfassen nein er und ein R sind 10 R 21
- drei sind 18 recht schön die -2 dann die 18 rüber mit -18 10R stehen alleine da -2 - 18 sind
- -20 und zum Schluss dann noch durch die Zehen teilen damit es eher auch wirklich ganz alleine da steht -20 10 sind -2 das ist unser R was machen wir damit jetzt
- er existiert hier an der Stelle für dieses R müssen wir jetzt nur -2 einsetzen und das ganze ausrechnen also wir haben ja unseren Schnittpunkt S
- gesucht letztendlich den finden wir jetzt mit diesem R das heißt 733 schreiben wir mal auf aber statt dem er anstatt plus R machen wir für ersetzen
- wir -2 an also kommt da jetzt -2 hin und den anderen Vektor auch abschreiben also drei Null Minus ganze und jetzt wird es einfach nur noch ausgerechnet und dann
- haben wir unseren Schnittpunkt gefunden also 7 - 2 mal 3 also 7-6 sind 1 3 - 2 * 0 sind einfach nur drei und drei minus zwei Mal minus 1 - 2 mal -1 sind 2 also
- 3 + 2 sind dann 5 1 3 5 ist unser Schnittpunkt wir haben ihn den wir hier dann schön einsetzen können das ist unsere gerade J die wir gesucht haben
- und damit haben wir die Aufgabe gelöst dann hoffe ich dass es euch geholfen hat falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare liked das Video und
- wir sehen uns dann beim nächsten macht's gut
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