Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Transformation von Funktionen einfach erklärt
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 56 Zeilen
- in diesem Video geht es um die Transformation von Funktionen um das Verschieben und Strecken von funktionsgrafen ich werde das
- ausführlich mit einem grafikrechner zeigen wie das funktioniert welche Transformationen möglich sind ich habe mal als Beispiel genommen die Funktion x
- hoch 3 - 3x hoch 2 + 2 das die die hier abgebildet ist und die einfachste Möglichkeit der Verschiebung ist die Verschiebung oben oder
- unten also die Verschiebung nach oben und unten geht so dass einfach hinten an die Funktionsgleichung eine Zahl dran gehängt wird im Prinzip könnte man sagen
- die Funktion die hier abgebildet ist ist die Funktion x hoch 3 - 3x hoch 2 die um 2 nach oben geschoben ist das macht diese 2 und man sieht das geht hier
- durch die 2 wenn ich noch am Ende sage plus irgendeine Zahl dann wird es um diese Zahl nach oben geschoben sage ich minus
- die Zahl wird es um diese Zahl nach unten geschoben formal wäre das F von X + A ich zeig dir das mal mit dem
- grafikrechner also hier habe ich die Funktion hingeschrieben F vonx ist definiert als x hoch 3 - 3x hoch 2 + 2 und hier siehst du die Funktion
- abgebildet und ich habe eingegeben f vonx + A ne das blaue hier F von X + A und jetzt kann ich mit diesem kleinen Schieberegler
- bestimmte Werte für a einstellen momentan ist A = 1 und du siehst die ist auch schon um ein nach oben geschoben wenn ich das
- also eigentlich müsste das hier durch die 2 gehen es geht jetzt durch die 3 weil A = 1 ist wenn ich das jetzt weiter nach rechts verschiebe dann schiebt sich
- dieser Graf weiter hoch es geht hier bis A = 5 und das Gleiche kann ich in die andere Richtung machen bis Minuszahlen bis -5 und du siehst der Graf geht
- einfach nach oben oder unten das ist das einfachste das nächste ist die Verschiebung nach rechts oder links die Verschiebung nach rechts oder
- links schreibt man formal als F V x- a das heißt über all wo in der Funktionsgleichung ein X steht schreibt man stattdessen x- oder plus die
- entsprechende Zahl also angenommen ich will das um zwe nach rechts verschieben dann würde ich schreiben X - 2 hoch 3 - 3* X - 2 hoch 2 + 2 also
- überall wo vorher ein X stand schreibe ich ganz stur X - 2 das ist x X - 2 hoch 3 hoch 3 dann 3 x x² 3 x X - 2 Z qu angenommen ich möchte das um 5 nach
- links schieben dann würde ich sagen X + 5 hoch 3 - 3* X + 5 Z qu + 2 und wunder dich nicht man nimmt immer das Entgegengesetzte Vorzeichen nach rechts
- würde man intuitiv denken das muss plus sein nein es ist minus also nach rechts US eine Zahl nach links plus eine Zahl wenn das so aufgeschrieben ist dann
- kann man das natürlich sehr gut erkennen was da passiert ist in manchen Fällen ist das aber ausmultipliziert na sowas wie hier hoch 2 das könnte man mit Hilfe
- der binomischen Formel ausmultiplizieren und dann erkennt man nicht mehr sofort was da verschoben wurde muss man manchmal so ein bisschen knobeln ich
- zeig dir auch das mal mit dem grafikrechner so hier sieht man das schön äh ich habe eingegeben F von x- A das blaue
- hier und wenn ich jetzt diesen Schieberegler bewege dann bewegt sich diese Kurve zur Seite oder in die andere Richtung wenn ich das in die andere
- Richtung bewege und vielleicht wunderst du dich jetzt ich habe ja eben gesagt wenn ich sage positive Zahl also+ a dann sollte es nach links gehen und bei minus
- nach rechts aber das liegt daran dass ich ja eingegeben habe x- a wenn ich jetzt eine positive Zahl für a nehme dann steht da x- diese Zahl und es wird
- nach rechts geschoben wenn ich jetzt sage a ist eine negative Zahl hier ist jetzt 2 - 2,82 dann ist es minus und das ist wieder
- Plus und also es stimmt schon wenn man sagt x- eine Zahl dann ist es nach rechts bei X + diese Zahl ist es nach links
- so jetzt haben wir die Verschiebung durch jetzt kommt die Streckung die Streckung in Y Richtung geht so dass man vor den Funktionsterm ein Faktor
- schreibt a mal F vonx also z.B 3* x hoch 3 - 3x H 2 + 2 oder 0,5* x 3- 3x hoch 2 + 2 und auch hier
- ist es oft so dass das schon ausmultipliziert wurde dass das nicht mehr hier in der Klammer steht sondern dass man dann schreibt 3x hoch 3 - 9x
- hoch 2 + 6 oder sowas und dann sieht man nicht mehr sofort was da passiert ist wie das mit der Streckung gleich aussieht zeige ich dir im
- grafikrechner wichtig ist auf jeden Fall schon mal zu wissen es ist nicht egal was das für ein Faktor ist wenn die Zahl größer ist als 1 wie diese dre hier z.B
- dann haben wir eine Streckung dann wird das ganze Ding länger und schmaler wenn das kleiner ist als 1 wie diese 0,5 z.B dann wird's zusammengedrückt B du gleich
- sehen wie das aussieht wenn der Faktor negativ ist dann haben wir zusätzlich noch eine Spiegelung an der X-Achse ich schalte mal den grafikrechner
- ein so du siehst die Funktion f vonx und ich habe jetzt a mal fonx geschrieben also du siehst ja in der blauen Schrift a mal F vonx und ich beweg den
- Schieberegler wenn ich den nach rechts bewege wenn A größer wird dann wird das ganze Ding länger und schmaler die der Hochpunkt wandert nach oben der
- Tiefpunkt wandert nach unten als wäre das wä diese Funktion ein Faden und du würdest am hoch und Tiefpunkt anfassen und es
- auseinanderziehen so was passiert wenn ich in negativen Bereich gehe also Moment erstmal ich nehme zahlen die zwischen 0 und 1 sind das
- jetzt 0,85 dann ist es schon bisschen zusammen gequetscht wenn ich noch tiefer gehe ich hoffe jetzt ist bei 0,4 0,25 du siehst
- das ganze Ding wird in Y Richtung zusammengestaucht man nennt das Stauchung also das ist Streckung das ist Stauchung und sobald ich in negativen
- Bereich gehe klappt das ganze Ding um das ist die Spiegelung an der X-Achse es klappt um und geht jetzt in die andere Richtung
- jetzt kommt noch eine vierte Sache und das ist die Streckung und Stauchung in x-Richtung die Streckung in x-Richtung geht F von A*
- x als Beispiel nehme ich mal die 2 also 2x hoch 2 hoch 3 - 3 x 2x H 2 + 2 also überall wo x stand schreibe ich jetzt 2x hin oder anderes Beispiel hab das mal
- hier nach links ein dritt x hoch 3 - 3 x 13 x hoch 2 + 2 und jetzt muss man eins beachten wenn man Zahlen größer als 1 nimmt also wie ja
- die 2 dann wird das Ding zusammengestaucht wenn die Zahl kleiner als 1 ist wie diese ein Drittel hier dann wird sie gestreckt die
- Sprachregelung ist so dass du immer den Kehrwert dieser Zahl nimmst also das wäre jetzt nicht gestreckt mit dem Streckfaktor 2 sondern mit dem Faktor
- einhalb ja dasusagen zwei ganze und du sagst ein/b hier ist der Streckfaktor nicht ein Drittel sondern 3 also wenn jemand
- sagt du sollst die Funktion transformieren mit dem Streckfaktor 5 dann würdest Du überall hinschreiben 1 fün wenn da steht nimm den Streckfaktor
- ein Sechstel dann würdest du dahin schreiben 6 so sieht es im grafikrechner aus hier ist der Graf wie in der
- ursprünglichen Form aussieht oder fast aussieht und jetzt habe ich dahin geschrieben F von A mal x und wenn ich den Schieberegler nach rechts schiebe
- siehst du das A wird größer und der Graf wird zusammengedrückt und es ist schön zu sehen der Hochpunkt und der Tiefpunkt die sind auf der gleichen Höhe das
- verändert sich nicht erinner dich noch mal an die Streckung in Y Richtung da ist es hier nach oben gegangen und das nach unten das bleibt jetzt auf einer
- Höhe und wird nur seitlich zusammengedrückt wenn ich jetzt auf Zahlen kleiner als ein gehe dann wird das ganze Ding
- auseinander auseinander gezogen und sobald ich in den negativen Bereich gehe passiert folgendes das ganze Ding wird an der y-Achse gespiegelt also bei der
- bei der Streckung nach oben da unten da hieß ein negativer Streckfaktor Spiegelung an der x-aachse hier ist das Spiegelung an der
- y-Achse also man sieht es ganz gut was hier passiert und ich glaube mehr brauchen wir an dieser Stelle nicht in den nächsten Videos mache ich noch ein
- paar Übungsaufgaben zu dem Thema da du noch ein bisschen Sicherheit bekommen kannst
Zum Nachlesen
Quadratische FunktionEine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der …
Parameter (Mathematik)Als Parameter (griechisch παρά para, deutsch ‚neben' und μέτρον metron ‚Maß'), auch Formvariable, wird in der Mathematik eine Variable bezeichnet, …
Lösen von UngleichungenBeim Lösen von Ungleichungen über den reellen Zahlen versucht man, eine unübersichtliche Ungleichung so weit zu vereinfachen, dass sich einfache Aussagen …
NormalparabelDie Normalparabel ist die spezielle Parabel mit der Gleichung y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} {\displaystyle y=x^{2}} , also der Graph der Quadratfunktion x …