Transformation von Funktionen einfach erklärt
Formelfabrik - Mathenachhilfe
https://www.youtube.com/watch?v=Pj8fE4QV_VI

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem Video geht es um die Transformation von Funktionen um das Verschieben und Strecken von funktionsgrafen ich werde das
0:09 ausführlich mit einem grafikrechner zeigen wie das funktioniert welche Transformationen möglich sind ich habe mal als Beispiel genommen die Funktion x
0:18 hoch 3 - 3x hoch 2 + 2 das die die hier abgebildet ist und die einfachste Möglichkeit der Verschiebung ist die Verschiebung oben oder
0:31 unten also die Verschiebung nach oben und unten geht so dass einfach hinten an die Funktionsgleichung eine Zahl dran gehängt wird im Prinzip könnte man sagen
0:41 die Funktion die hier abgebildet ist ist die Funktion x hoch 3 - 3x hoch 2 die um 2 nach oben geschoben ist das macht diese 2 und man sieht das geht hier
0:52 durch die 2 wenn ich noch am Ende sage plus irgendeine Zahl dann wird es um diese Zahl nach oben geschoben sage ich minus
1:00 die Zahl wird es um diese Zahl nach unten geschoben formal wäre das F von X + A ich zeig dir das mal mit dem
1:13 grafikrechner also hier habe ich die Funktion hingeschrieben F vonx ist definiert als x hoch 3 - 3x hoch 2 + 2 und hier siehst du die Funktion
1:26 abgebildet und ich habe eingegeben f vonx + A ne das blaue hier F von X + A und jetzt kann ich mit diesem kleinen Schieberegler
1:37 bestimmte Werte für a einstellen momentan ist A = 1 und du siehst die ist auch schon um ein nach oben geschoben wenn ich das
1:46 also eigentlich müsste das hier durch die 2 gehen es geht jetzt durch die 3 weil A = 1 ist wenn ich das jetzt weiter nach rechts verschiebe dann schiebt sich
1:57 dieser Graf weiter hoch es geht hier bis A = 5 und das Gleiche kann ich in die andere Richtung machen bis Minuszahlen bis -5 und du siehst der Graf geht
2:10 einfach nach oben oder unten das ist das einfachste das nächste ist die Verschiebung nach rechts oder links die Verschiebung nach rechts oder
2:21 links schreibt man formal als F V x- a das heißt über all wo in der Funktionsgleichung ein X steht schreibt man stattdessen x- oder plus die
2:36 entsprechende Zahl also angenommen ich will das um zwe nach rechts verschieben dann würde ich schreiben X - 2 hoch 3 - 3* X - 2 hoch 2 + 2 also
2:55 überall wo vorher ein X stand schreibe ich ganz stur X - 2 das ist x X - 2 hoch 3 hoch 3 dann 3 x x² 3 x X - 2 Z qu angenommen ich möchte das um 5 nach
3:11 links schieben dann würde ich sagen X + 5 hoch 3 - 3* X + 5 Z qu + 2 und wunder dich nicht man nimmt immer das Entgegengesetzte Vorzeichen nach rechts
3:28 würde man intuitiv denken das muss plus sein nein es ist minus also nach rechts US eine Zahl nach links plus eine Zahl wenn das so aufgeschrieben ist dann
3:39 kann man das natürlich sehr gut erkennen was da passiert ist in manchen Fällen ist das aber ausmultipliziert na sowas wie hier hoch 2 das könnte man mit Hilfe
3:48 der binomischen Formel ausmultiplizieren und dann erkennt man nicht mehr sofort was da verschoben wurde muss man manchmal so ein bisschen knobeln ich
3:56 zeig dir auch das mal mit dem grafikrechner so hier sieht man das schön äh ich habe eingegeben F von x- A das blaue
4:07 hier und wenn ich jetzt diesen Schieberegler bewege dann bewegt sich diese Kurve zur Seite oder in die andere Richtung wenn ich das in die andere
4:17 Richtung bewege und vielleicht wunderst du dich jetzt ich habe ja eben gesagt wenn ich sage positive Zahl also+ a dann sollte es nach links gehen und bei minus
4:28 nach rechts aber das liegt daran dass ich ja eingegeben habe x- a wenn ich jetzt eine positive Zahl für a nehme dann steht da x- diese Zahl und es wird
4:40 nach rechts geschoben wenn ich jetzt sage a ist eine negative Zahl hier ist jetzt 2 - 2,82 dann ist es minus und das ist wieder
4:50 Plus und also es stimmt schon wenn man sagt x- eine Zahl dann ist es nach rechts bei X + diese Zahl ist es nach links
5:01 so jetzt haben wir die Verschiebung durch jetzt kommt die Streckung die Streckung in Y Richtung geht so dass man vor den Funktionsterm ein Faktor
5:10 schreibt a mal F vonx also z.B 3* x hoch 3 - 3x H 2 + 2 oder 0,5* x 3- 3x hoch 2 + 2 und auch hier
5:33 ist es oft so dass das schon ausmultipliziert wurde dass das nicht mehr hier in der Klammer steht sondern dass man dann schreibt 3x hoch 3 - 9x
5:42 hoch 2 + 6 oder sowas und dann sieht man nicht mehr sofort was da passiert ist wie das mit der Streckung gleich aussieht zeige ich dir im
5:51 grafikrechner wichtig ist auf jeden Fall schon mal zu wissen es ist nicht egal was das für ein Faktor ist wenn die Zahl größer ist als 1 wie diese dre hier z.B
6:01 dann haben wir eine Streckung dann wird das ganze Ding länger und schmaler wenn das kleiner ist als 1 wie diese 0,5 z.B dann wird's zusammengedrückt B du gleich
6:11 sehen wie das aussieht wenn der Faktor negativ ist dann haben wir zusätzlich noch eine Spiegelung an der X-Achse ich schalte mal den grafikrechner
6:22 ein so du siehst die Funktion f vonx und ich habe jetzt a mal fonx geschrieben also du siehst ja in der blauen Schrift a mal F vonx und ich beweg den
6:34 Schieberegler wenn ich den nach rechts bewege wenn A größer wird dann wird das ganze Ding länger und schmaler die der Hochpunkt wandert nach oben der
6:44 Tiefpunkt wandert nach unten als wäre das wä diese Funktion ein Faden und du würdest am hoch und Tiefpunkt anfassen und es
6:51 auseinanderziehen so was passiert wenn ich in negativen Bereich gehe also Moment erstmal ich nehme zahlen die zwischen 0 und 1 sind das
7:01 jetzt 0,85 dann ist es schon bisschen zusammen gequetscht wenn ich noch tiefer gehe ich hoffe jetzt ist bei 0,4 0,25 du siehst
7:11 das ganze Ding wird in Y Richtung zusammengestaucht man nennt das Stauchung also das ist Streckung das ist Stauchung und sobald ich in negativen
7:21 Bereich gehe klappt das ganze Ding um das ist die Spiegelung an der X-Achse es klappt um und geht jetzt in die andere Richtung
7:31 jetzt kommt noch eine vierte Sache und das ist die Streckung und Stauchung in x-Richtung die Streckung in x-Richtung geht F von A*
7:43 x als Beispiel nehme ich mal die 2 also 2x hoch 2 hoch 3 - 3 x 2x H 2 + 2 also überall wo x stand schreibe ich jetzt 2x hin oder anderes Beispiel hab das mal
8:03 hier nach links ein dritt x hoch 3 - 3 x 13 x hoch 2 + 2 und jetzt muss man eins beachten wenn man Zahlen größer als 1 nimmt also wie ja
8:21 die 2 dann wird das Ding zusammengestaucht wenn die Zahl kleiner als 1 ist wie diese ein Drittel hier dann wird sie gestreckt die
8:31 Sprachregelung ist so dass du immer den Kehrwert dieser Zahl nimmst also das wäre jetzt nicht gestreckt mit dem Streckfaktor 2 sondern mit dem Faktor
8:41 einhalb ja dasusagen zwei ganze und du sagst ein/b hier ist der Streckfaktor nicht ein Drittel sondern 3 also wenn jemand
8:52 sagt du sollst die Funktion transformieren mit dem Streckfaktor 5 dann würdest Du überall hinschreiben 1 fün wenn da steht nimm den Streckfaktor
9:02 ein Sechstel dann würdest du dahin schreiben 6 so sieht es im grafikrechner aus hier ist der Graf wie in der
9:13 ursprünglichen Form aussieht oder fast aussieht und jetzt habe ich dahin geschrieben F von A mal x und wenn ich den Schieberegler nach rechts schiebe
9:25 siehst du das A wird größer und der Graf wird zusammengedrückt und es ist schön zu sehen der Hochpunkt und der Tiefpunkt die sind auf der gleichen Höhe das
9:37 verändert sich nicht erinner dich noch mal an die Streckung in Y Richtung da ist es hier nach oben gegangen und das nach unten das bleibt jetzt auf einer
9:47 Höhe und wird nur seitlich zusammengedrückt wenn ich jetzt auf Zahlen kleiner als ein gehe dann wird das ganze Ding
9:56 auseinander auseinander gezogen und sobald ich in den negativen Bereich gehe passiert folgendes das ganze Ding wird an der y-Achse gespiegelt also bei der
10:09 bei der Streckung nach oben da unten da hieß ein negativer Streckfaktor Spiegelung an der x-aachse hier ist das Spiegelung an der
10:17 y-Achse also man sieht es ganz gut was hier passiert und ich glaube mehr brauchen wir an dieser Stelle nicht in den nächsten Videos mache ich noch ein
10:26 paar Übungsaufgaben zu dem Thema da du noch ein bisschen Sicherheit bekommen kannst