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Quadratische Funktionen - Alles, was du wissen musst!

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Das Wichtigste aus dem Video

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Transkriptautomatisch erstellt · 28 Zeilen
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  1. Was sind quadratische Funktionen und wie bestimmst du ihre Funktionsgleichung? Das erfährst du hier. Quadratische Funktionen erkennst du im Koordinatensystem an ihrer
  2. typischen Form. Sie bilden nämlich immer eine Parabel. In der Funktionsgleichung zeigt dir hingegen das x², dass es sich um eine quadratische Funktion handelt.
  3. Die einfachste quadratische Funktion besteht nur aus dem x². Du nennst sie auch Normalparabel. Eine Besonderheit der Normalparabel ist, dass sie sowohl positive als auch negative x-Werte hat,
  4. aber nur positive y-Werte. Das siehst du auch, wenn du eine Wertetabelle aufstellst. Hier fällt noch etwas auf: Die quadratische Funktion hat für jeden y-Wert zwei x-Werte,
  5. einen positiven und einen negativen. Zum Beispiel haben x=−2 und x=2 beide den y-Wert 4. Die Funktion ist also spiegelsymmetrisch zur y-Achse.
  6. Der Scheitelpunkt, also der tiefste Punkt einer Normalparabel, liegt bei (0∣0). Aber das muss Am einfachsten ist die Verschiebung in y-Richtung, das heißt nach oben
  7. oder nach unten. Dazu addierst du zu x² den Wert e. Für e=2 verschiebst du die Parabel beispielsweise um 2 nach oben. Der Scheitelpunkt liegt dadurch bei (0∣2).
  8. Du kannst die Parabel aber auch in x-Richtung verschieben, also nach rechts oder nach links. Dafür ziehst du in Klammern den Wert d von x ab. d=2 verschiebt die Parabel und somit
  9. auch den Scheitelpunkt zum Beispiel um 2 nach rechts und d=−2 verschiebt sie nach links. Pass dabei auf, dass du die Vorzeichen nicht durcheinanderbringst:
  10. Plus in der Klammer verschiebt nach links, Minus nach rechts. Du kannst die Parabel aber nicht nur hin- und herschieben, sondern auch strecken oder
  11. stauchen. Das heißt, du machst sie enger oder breiter. Was davon der Fall ist, erkennst du an dem Wert a, der vor dem Ausdruck x² in der Funktionsgleichung steht.
  12. Ist a größer als 1, wird die Parabel enger. Ist a zwischen 0 und 1, wird sie breiter. Je nachdem, ob a ein positives oder ein negatives Vorzeichen hat,
  13. ist die Parabel zudem nach oben oder nach unten geöffnet. Aber Vorsicht: Bei quadratischen Funktionen darf der Wert a nie 0 sein,
  14. sonst hast du keine Parabel mehr. Prima, schauen wir uns als Nächstes die Funktionsgleichung einer quadratischen
  15. Funktion etwas genauer an. Oft hast du die Gleichung einer Parabel nicht direkt gegeben, sondern musst sie selbst herausfinden.
  16. Eine Möglichkeit, eine quadratische Funktion darzustellen, ist die Scheitelpunktform. Sie sieht so aus:
  17. f(x)=a(x−d)²+e Besonders praktisch an ihr ist, dass wir hier die Werte d,
  18. e und a direkt ablesen können. d verrät dir die Verschiebung entlang der x-Achse, e die Verschiebung entlang der y-Achse und a die Streckung oder Stauchung.
  19. Du hast zum Beispiel folgende Parabel gegeben. Du kannst direkt den Scheitelpunkt (2∣3) ablesen. Das heißt, die Normalparabel wurde um zwei Einheiten
  20. nach rechts und drei Einheiten nach oben verschoben. d ist also 2 und e ist 3. a kannst du leider nicht direkt aus dem Graphen ablesen. Du musst
  21. ihn daher berechnen. Dafür nimmst du dir einen beliebigen Punkt auf der Parabel zur Hilfe. Der Graph läuft zum Beispiel durch den Punkt (1∣5).
  22. Diesen Punkt setzt du dann für x und y in die Scheitelpunktform ein. Danach löst du nach a auf. Zuerst lösen wir dafür die Klammer auf. 1−2=−1 und (−1)²=1.
  23. Weil a⋅1=a ist, kannst du die 1 auch streichen. Dann ziehen wir die 3 auf beiden Seiten ab und haben unsere Lösung:
  24. a=2 Jetzt setzen wir das a in unsere Scheitelpunktform ein und erhalten die gesuchte Funktionsgleichung:
  25. f(x)=2(x−2)²+3 Super. Eine weitere Darstellungsmöglichkeit
  26. der Funktionsgleichung ist die Normalform. Sie sieht so aus: f(x)=ax²+bx+c
  27. Wie du die Scheitelpunktform in die Normalform umwandelst und umgekehrt, zeigen wir dir hier im Video.
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Zum Nachlesen

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