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Sinusfunktion aufstellen - Verschiebung/Streckung/Stauchung - Amplitude & Periode - Trigonometrie
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 59 Zeilen
- ein Sinusgraf, aber eben nicht der Standard. Und jetzt ist die Frage, schaffen wir es zu diesem Grafen hier eine Funktionsgleichung aufzustellen?
- Die folgende Funktion geht aus der Funktion f(x) = Sin x hervor. Bestimme eine Funktionsgleichung. Das heißt, wir wissen schon mal, diese
- Funktion geht hervor aus der ganz normalen Sinusfunktion, also die Funktion mit der Gleichung f(x) = Sin x. Diese Funktion sieht so aus, also diese
- unveränderte Sinusfunktion. Und das lassen wir mal jetzt so an der Seite stehen, weil wir uns jetzt auch daran orientieren werden. Unser Ziel ist aber,
- eine Funktionsgleichung für diese Funktion rauszubekommen. Und dabei ist es so, dass wir, damit wir das machen können, äh uns anschauen müssen, was
- wurde hier verändert im Vergleich zur normalen unveränderten Sinusfunktion. Und jede Veränderung, die gemacht werden kann an einer Sinusfunktion, hat einen
- ganz bestimmten Platz in der Funktionsgleichung. Und dafür gibt es eine allgemeine Formel. Das hier ist die allgemeine Formel für Sinusfunktionen.
- Und wenn wir das hier mal vergleichen mit dieser unveränderten Sinusfunktion, dann gibt es hier noch vier Platzhalter. Das sind eben diese vier Buchstaben A,
- B, C und D. Hier wollen wir natürlich dann Zahlen stehen haben und jede dieser vier Zahlen bzw. Platzhalter hat eine ganz bestimmte
- Bedeutung bzw. steht für eine ganz bestimmte mögliche Veränderung, die eben gemacht wurde im Vergleich zur unveränderten, also normalen
- Sinusfunktion. Was wir jetzt machen ist, dass wir mal diese vier möglichen Veränderungen durchgehen und eben schauen, ob diese
- Veränderung hier bei diesem Grafen hier gemacht wurde oder eben nicht. Und dementsprechend ähm versuchen wir dann die Werte für A, B, C und D
- rauszubekommen. Als erstes sollte man immer mit der Verschiebung nach oben oder unten, also in Y Richtung anfangen. Hier wäre das
- die Zahl, die ganz hinten steht mit Plus oder minus. Das ist also dieses D hier. Und damit wir hier besser erkennen können, um wie viel die Funktion hier
- nach oben oder unten verschoben wurde, sollten wir erstmal die sogenannte Mittellinie einzeichnen. Das heißt die wagerechte Linie, die den Grafen in der
- Mitte durchtrennt. Und das wäre in dem Fall jetzt diese Linie hier. Im Normalfall, also bei der unveränderten Sinusfunktion ist die Mittellinie die
- x-Achse. Hier ist die Linie jetzt bei y = 2. Das heißt, dass diese Funktion hier um 2 nach oben verschoben wurde. Und daraus können wir schon mal schließen,
- dass das D hier in unserem Fall 2 ist. Hier wird also am Ende eine 2 stehen. Diese Mittellinie brauchen wir aber auch unbedingt nicht nur für das D. Ich zeig
- dir jetzt, wofür wir die noch brauchen. Und zwar gibt es ja noch eine andere Art der Verschiebung, die gemacht werden kann und zwar die Verschiebung in
- X-Richtung, also nach rechts oder nach links. Und hierfür ist diese Mittellinie besonders hilfreich, weil wir jetzt bei unseren ganzen Überlegungen, die wir
- jetzt machen werden, uns vorstellen müssen, dass diese Mittellinie unsere neue x-Achse sozusagen ist. Also, wir stellen uns die ganze Zeit vor, das wäre
- jetzt die X-Achse. Und jetzt sehen wir hier bei der unveränderten Sinusfunktion, da ist ja hier die X-Achse, die geht ja durch den Punkt 00
- und dann hat sie halt hier ihren Hochpunkt, hat dann bei Pi eine Nullstelle, dann hat sie ein Tiefpunkt und dann bei 2 Pi wieder eine Nullstelle
- und so weiter. Wenn wir uns jetzt aber diesen Grafen hier anschauen, dann ist dieser Punkt, der hier der Ursprung ist, also wo danach eben die Funktion
- hochgeht und Hochpunkt hat und so weiter, der ist ja eigentlich hier äquivalent mit diesem Punkt hier. Da geht es ja dann erst hoch und runter und
- so weiter und nicht hier schon, also nicht bei x = 0, sondern das ist nämlich bei dem x-Wert pi halbe oder ein halbpi. Das bedeutet also, dass diese Funktion
- um diese Strecke hier nach rechts verschoben wurde. Das heißt, sie wurde um ein halb Pi nach rechts verschoben im Vergleich zur normalen Sinusfunktion.
- So, und wo genau ist die Verschiebung in X-Richtung? Hier in der Funktionsgleichung die Verschiebung in XRichtung, also nach
- rechts oder nach links, ist dieses C hier. Die schreibt man also nicht ganz hinten wie die Verschiebung in Y Richtung, sondern man schreibt sie
- direkt neben das X, also sogar in eine Klammer rein. Also die muss wirklich direkt neben dem X sein. Ähm auch weder mit Plus oder Minus getrennt. Allerdings
- muss man hier jetzt aufpassen und zwar bei dem C ist es immer so, dass das Vorzeichen umgekehrt werden muss. Also hier mit dem Vorzeichen muss man
- aufpassen. In unserem Fall wurde es ja nach rechts verschoben, also in Plus Richtung. Das heißt, hier wird ein Minus stehen. Deswegen ist es ja auch so, dass
- in der Formel hier ein Minus und kein Plus steht. Das bedeutet einfach nur, dass das Vorzeichen umgekehrt werden muss. In unserem Fall ist es also, wie
- gesagt, ein Minus, weil es ja nach rechts verschoben ist. Und wir haben ja gesagt, es ist um diese Strecke hier verschoben worden und das ist ja ein
- halb Pi oder eben Pi halbe. Das ist also unser C. Jetzt haben wir C und D abgehakt und beides sind Verschiebungen. A und B sind jetzt keine Verschiebungen,
- sondern das sind beides Faktoren, die für die Streckung oder Stauchung stehen. Das A steht dabei für die Streckung bzw. Stauchung in Y Richtung und das B steht
- für die Streckung bzw. Stauchung in X-Richtung. Wir fangen mit dem einfacheren an und zwar ist es dieses A. Und dabei gibt es einen Begriff, den wir
- hier brauchen und zwar die Amplitude. Die Amplitude ist die Strecke vom Hochpunkt bis zur Mittellinie. Das hier, also so in unserem Fall sehen wir hier,
- dass das hier 2 ist. Also das sehen wir ja hier. Das ist also 2. Wie groß ist denn die Strecke bei der normalen Sinusfunktion? Hier sehen wir ja, dass
- die Amplitude diese Strecke ist und das ist ja 1 und nicht 2. Deswegen steht bei der normalen Sinusfunktion hier auch gar keine Zahl, weil hier im Prinzip eine 1
- stehen müsste, also 1 mal sinus x. Und das lässt man dann natürlich einfach weg und deswegen steht dann hier gar nichts. Hier ist es aber jetzt zwei und das
- bedeutet, dass die Amplitude, die hier an der Funktion stehen muss, 2 ist und nicht 1. Das heißt, unser A muss 2 sein. So und jetzt fehlt nur noch eine Sache
- und zwar das B. Das B steht auch für die Streckung bzw. Stauchung, aber eben in X Richtung. Hier gibt es jetzt einen anderen wichtigen Begriff und zwar die
- Periode. Schauen wir uns mal die Periode von der unveränderten Sinusfunktion an. Die Periode gibt an, wenn wir jetzt von der Mitte sozusagen das die Mittellinie
- oder in dem Fall ist es ja die x-Achse. Wenn wir von da aus jetzt einmal hochgehen, dann kommt der Hochpunkt, dann gehen wir runter, dann kommt
- irgendwo ein Tiefpunkt und dann kommen wir irgendwann wieder da an, wo wir angefangen haben, sozusagen und dann geht's ja wieder von vorne los. Also
- hoch, runter und wieder zurück. Wie lang ist das hier? Ja, und dabei geht es immer um die X-Werte. Also, es geht darum, wie lang ist jetzt diese Strecke
- hier? Einmal hoch, einmal runter und wieder zurück. Wie lang ist diese Strecke hier? Und das ist jetzt hier 6 komm irgendwas. Das bedeutet, es wird 2
- Pi sein. Das heißt, bei der normalen Sinusfunktion ist die Periode 2 Pi. So, aber jetzt fragst du dich vielleicht ja, aber hier steht ja kein 2 Pi vor dem X.
- Also da, wo das B ja eigentlich stehen müsste, steht ja kein 2 Pi. Ja, weil B ist eben nicht einfach die Periode, sondern für B gibt es eine Formel und
- zwar ist B immer 2 Pi get durch die Periode. Und wenn die Periode, wie hier jetzt bei der Sinusfunktion, 2 Pi ist, dann machen wir ja im Prinzip 2 pi durch
- 2pi. Und das ist ja 1 und deswegen steht hier auch nichts, weil hier auch wieder eigentlich ein x stehen müsste. Das ist
- ja einfach nur x. In unserem Fall, also für die Funktion, die wir jetzt hier betrachten, ist die Periode aber eine andere. Das ist nämlich hier diese
- Strecke hier. So. Und wie lang ist jetzt diese Strecke hier? Das sehen wir hier. Das hat ja den x-Wert Pi. Das heißt, diese Strecke hier ist Pi lang und nicht
- 2 pi. Das heißt, hier müssen wir für P in die Formel Pi einsetzen und dann kürzt man hier diese zwei Pi oben und unten und da steht dann am Ende eine 2.
- Das heißt, b Und jetzt müssen wir einfach nur diese vier Zahlen in diese allgemeine Formel einsetzen. Und wenn wir das tun,
- erhalten wir diese Funktionsgleichung. Wenn dir jetzt noch nicht genug ist mit dieser Sinusfunktion, dann schau dir auf jeden Fall das nächste Video an. Da
- werden wir uns nämlich um die Ableitung von dieser Sinusfunktion hier kümmern. Ich hoffe, das war alles soweit verständlich. Wenn du noch Fragen hast,
- schreib sie mir gerne in die Kommentare.
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