Sinusfunktion aufstellen - Verschiebung/Streckung/Stauchung - Amplitude & Periode - Trigonometrie
Smarthilfe - die Mathe-Lernhilfe für die Oberstufe
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Transkript (automatisch erstellt)

0:00 ein Sinusgraf, aber eben nicht der Standard. Und jetzt ist die Frage, schaffen wir es zu diesem Grafen hier eine Funktionsgleichung aufzustellen?
0:10 Die folgende Funktion geht aus der Funktion f(x) = Sin x hervor. Bestimme eine Funktionsgleichung. Das heißt, wir wissen schon mal, diese
0:19 Funktion geht hervor aus der ganz normalen Sinusfunktion, also die Funktion mit der Gleichung f(x) = Sin x. Diese Funktion sieht so aus, also diese
0:29 unveränderte Sinusfunktion. Und das lassen wir mal jetzt so an der Seite stehen, weil wir uns jetzt auch daran orientieren werden. Unser Ziel ist aber,
0:38 eine Funktionsgleichung für diese Funktion rauszubekommen. Und dabei ist es so, dass wir, damit wir das machen können, äh uns anschauen müssen, was
0:48 wurde hier verändert im Vergleich zur normalen unveränderten Sinusfunktion. Und jede Veränderung, die gemacht werden kann an einer Sinusfunktion, hat einen
1:02 ganz bestimmten Platz in der Funktionsgleichung. Und dafür gibt es eine allgemeine Formel. Das hier ist die allgemeine Formel für Sinusfunktionen.
1:12 Und wenn wir das hier mal vergleichen mit dieser unveränderten Sinusfunktion, dann gibt es hier noch vier Platzhalter. Das sind eben diese vier Buchstaben A,
1:24 B, C und D. Hier wollen wir natürlich dann Zahlen stehen haben und jede dieser vier Zahlen bzw. Platzhalter hat eine ganz bestimmte
1:35 Bedeutung bzw. steht für eine ganz bestimmte mögliche Veränderung, die eben gemacht wurde im Vergleich zur unveränderten, also normalen
1:46 Sinusfunktion. Was wir jetzt machen ist, dass wir mal diese vier möglichen Veränderungen durchgehen und eben schauen, ob diese
1:55 Veränderung hier bei diesem Grafen hier gemacht wurde oder eben nicht. Und dementsprechend ähm versuchen wir dann die Werte für A, B, C und D
2:03 rauszubekommen. Als erstes sollte man immer mit der Verschiebung nach oben oder unten, also in Y Richtung anfangen. Hier wäre das
2:14 die Zahl, die ganz hinten steht mit Plus oder minus. Das ist also dieses D hier. Und damit wir hier besser erkennen können, um wie viel die Funktion hier
2:24 nach oben oder unten verschoben wurde, sollten wir erstmal die sogenannte Mittellinie einzeichnen. Das heißt die wagerechte Linie, die den Grafen in der
2:32 Mitte durchtrennt. Und das wäre in dem Fall jetzt diese Linie hier. Im Normalfall, also bei der unveränderten Sinusfunktion ist die Mittellinie die
2:41 x-Achse. Hier ist die Linie jetzt bei y = 2. Das heißt, dass diese Funktion hier um 2 nach oben verschoben wurde. Und daraus können wir schon mal schließen,
2:54 dass das D hier in unserem Fall 2 ist. Hier wird also am Ende eine 2 stehen. Diese Mittellinie brauchen wir aber auch unbedingt nicht nur für das D. Ich zeig
3:04 dir jetzt, wofür wir die noch brauchen. Und zwar gibt es ja noch eine andere Art der Verschiebung, die gemacht werden kann und zwar die Verschiebung in
3:14 X-Richtung, also nach rechts oder nach links. Und hierfür ist diese Mittellinie besonders hilfreich, weil wir jetzt bei unseren ganzen Überlegungen, die wir
3:23 jetzt machen werden, uns vorstellen müssen, dass diese Mittellinie unsere neue x-Achse sozusagen ist. Also, wir stellen uns die ganze Zeit vor, das wäre
3:33 jetzt die X-Achse. Und jetzt sehen wir hier bei der unveränderten Sinusfunktion, da ist ja hier die X-Achse, die geht ja durch den Punkt 00
3:42 und dann hat sie halt hier ihren Hochpunkt, hat dann bei Pi eine Nullstelle, dann hat sie ein Tiefpunkt und dann bei 2 Pi wieder eine Nullstelle
3:51 und so weiter. Wenn wir uns jetzt aber diesen Grafen hier anschauen, dann ist dieser Punkt, der hier der Ursprung ist, also wo danach eben die Funktion
4:00 hochgeht und Hochpunkt hat und so weiter, der ist ja eigentlich hier äquivalent mit diesem Punkt hier. Da geht es ja dann erst hoch und runter und
4:09 so weiter und nicht hier schon, also nicht bei x = 0, sondern das ist nämlich bei dem x-Wert pi halbe oder ein halbpi. Das bedeutet also, dass diese Funktion
4:21 um diese Strecke hier nach rechts verschoben wurde. Das heißt, sie wurde um ein halb Pi nach rechts verschoben im Vergleich zur normalen Sinusfunktion.
4:32 So, und wo genau ist die Verschiebung in X-Richtung? Hier in der Funktionsgleichung die Verschiebung in XRichtung, also nach
4:39 rechts oder nach links, ist dieses C hier. Die schreibt man also nicht ganz hinten wie die Verschiebung in Y Richtung, sondern man schreibt sie
4:49 direkt neben das X, also sogar in eine Klammer rein. Also die muss wirklich direkt neben dem X sein. Ähm auch weder mit Plus oder Minus getrennt. Allerdings
4:59 muss man hier jetzt aufpassen und zwar bei dem C ist es immer so, dass das Vorzeichen umgekehrt werden muss. Also hier mit dem Vorzeichen muss man
5:08 aufpassen. In unserem Fall wurde es ja nach rechts verschoben, also in Plus Richtung. Das heißt, hier wird ein Minus stehen. Deswegen ist es ja auch so, dass
5:17 in der Formel hier ein Minus und kein Plus steht. Das bedeutet einfach nur, dass das Vorzeichen umgekehrt werden muss. In unserem Fall ist es also, wie
5:26 gesagt, ein Minus, weil es ja nach rechts verschoben ist. Und wir haben ja gesagt, es ist um diese Strecke hier verschoben worden und das ist ja ein
5:34 halb Pi oder eben Pi halbe. Das ist also unser C. Jetzt haben wir C und D abgehakt und beides sind Verschiebungen. A und B sind jetzt keine Verschiebungen,
5:46 sondern das sind beides Faktoren, die für die Streckung oder Stauchung stehen. Das A steht dabei für die Streckung bzw. Stauchung in Y Richtung und das B steht
5:59 für die Streckung bzw. Stauchung in X-Richtung. Wir fangen mit dem einfacheren an und zwar ist es dieses A. Und dabei gibt es einen Begriff, den wir
6:07 hier brauchen und zwar die Amplitude. Die Amplitude ist die Strecke vom Hochpunkt bis zur Mittellinie. Das hier, also so in unserem Fall sehen wir hier,
6:18 dass das hier 2 ist. Also das sehen wir ja hier. Das ist also 2. Wie groß ist denn die Strecke bei der normalen Sinusfunktion? Hier sehen wir ja, dass
6:27 die Amplitude diese Strecke ist und das ist ja 1 und nicht 2. Deswegen steht bei der normalen Sinusfunktion hier auch gar keine Zahl, weil hier im Prinzip eine 1
6:37 stehen müsste, also 1 mal sinus x. Und das lässt man dann natürlich einfach weg und deswegen steht dann hier gar nichts. Hier ist es aber jetzt zwei und das
6:47 bedeutet, dass die Amplitude, die hier an der Funktion stehen muss, 2 ist und nicht 1. Das heißt, unser A muss 2 sein. So und jetzt fehlt nur noch eine Sache
6:59 und zwar das B. Das B steht auch für die Streckung bzw. Stauchung, aber eben in X Richtung. Hier gibt es jetzt einen anderen wichtigen Begriff und zwar die
7:09 Periode. Schauen wir uns mal die Periode von der unveränderten Sinusfunktion an. Die Periode gibt an, wenn wir jetzt von der Mitte sozusagen das die Mittellinie
7:20 oder in dem Fall ist es ja die x-Achse. Wenn wir von da aus jetzt einmal hochgehen, dann kommt der Hochpunkt, dann gehen wir runter, dann kommt
7:27 irgendwo ein Tiefpunkt und dann kommen wir irgendwann wieder da an, wo wir angefangen haben, sozusagen und dann geht's ja wieder von vorne los. Also
7:35 hoch, runter und wieder zurück. Wie lang ist das hier? Ja, und dabei geht es immer um die X-Werte. Also, es geht darum, wie lang ist jetzt diese Strecke
7:44 hier? Einmal hoch, einmal runter und wieder zurück. Wie lang ist diese Strecke hier? Und das ist jetzt hier 6 komm irgendwas. Das bedeutet, es wird 2
7:53 Pi sein. Das heißt, bei der normalen Sinusfunktion ist die Periode 2 Pi. So, aber jetzt fragst du dich vielleicht ja, aber hier steht ja kein 2 Pi vor dem X.
8:03 Also da, wo das B ja eigentlich stehen müsste, steht ja kein 2 Pi. Ja, weil B ist eben nicht einfach die Periode, sondern für B gibt es eine Formel und
8:13 zwar ist B immer 2 Pi get durch die Periode. Und wenn die Periode, wie hier jetzt bei der Sinusfunktion, 2 Pi ist, dann machen wir ja im Prinzip 2 pi durch
8:25 2pi. Und das ist ja 1 und deswegen steht hier auch nichts, weil hier auch wieder eigentlich ein x stehen müsste. Das ist
8:34 ja einfach nur x. In unserem Fall, also für die Funktion, die wir jetzt hier betrachten, ist die Periode aber eine andere. Das ist nämlich hier diese
8:44 Strecke hier. So. Und wie lang ist jetzt diese Strecke hier? Das sehen wir hier. Das hat ja den x-Wert Pi. Das heißt, diese Strecke hier ist Pi lang und nicht
8:56 2 pi. Das heißt, hier müssen wir für P in die Formel Pi einsetzen und dann kürzt man hier diese zwei Pi oben und unten und da steht dann am Ende eine 2.
9:09 Das heißt, b Und jetzt müssen wir einfach nur diese vier Zahlen in diese allgemeine Formel einsetzen. Und wenn wir das tun,
9:19 erhalten wir diese Funktionsgleichung. Wenn dir jetzt noch nicht genug ist mit dieser Sinusfunktion, dann schau dir auf jeden Fall das nächste Video an. Da
9:28 werden wir uns nämlich um die Ableitung von dieser Sinusfunktion hier kümmern. Ich hoffe, das war alles soweit verständlich. Wenn du noch Fragen hast,
9:37 schreib sie mir gerne in die Kommentare.