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Grundformeln der Kombinatorik
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 33 Zeilen
- Moin Leute, heute soll es um die Grundformeln der Kombinatorik gehen. Weil es da so viele verschiedene Formeln gibt, wollen wir euch heute alles einmal
- ganz strukturiert zeigen. Also macht es euch bequem und viel Spaß. [Musik]
- Das erste, was wir uns anschauen wollen, sind Permutationen. Wann tritt eine Permutation auf? Eine Permutation tritt genau dann auf, wenn keine Auswahl
- getroffen werden muss. Das heißt, dass alle Objekte einer Menge auch verwendet werden. Das kann beispielsweise die Tabelle der Bundesliga sein. Angenommen,
- es wird gefragt, wie viele verschiedene Kombinationen der Anordnung der Tabelle gibt es? Es gibt 18 Vereine und jeder Verein kann theoretisch jeden Platz
- belegen. Praktisch natürlich nicht, da ja bekannt ist, dass Schalke nie Meister wird, aber egal. Zurück zum Beispiel. Die Anzahl der Kombinationen kann man
- ganz einfach mit der Fakultät berechnen. Man schreibt also einfach 18 Fakultät. Das ergibt dann eine verdammt lange Zahl, die kein Mensch aussprechen kann.
- Also gibt es sehr viele Möglichkeiten der Anordnung. Jetzt gibt es noch eine weitere Art der Permutation und zwar, wenn manche Elemente mehrfach auftreten.
- Auch das lässt sich am besten an einem Beispiel erklären. Angenommen, ihr habt das Wort Keller gegeben. Wie viele verschiedene Buchstabenkombinationen
- kann man mit diesem Wort durchführen? Es dürfen natürlich auch sinnlose Wörter entstehen. Das erste, was auffällt, ist, dass es die Buchstaben E und L zweimal
- gibt. Das heißt, wir müssen die zweite Formel der Permutation anwenden. Die sieht folgendermaßen aus. Das K steht hierbei für die Anzahl der Buchstaben.
- Bei Keller sind das sechs. Die Ms stehen für die jeweiligen Buchstaben und ihre Häufigkeit. Also eine E Fakultät für das K und das R und zwei Fakultät für E und
- L. Das muss man dann nur noch in die Formel einsetzen und schon ist man fertig. Da kommt dann 180 raus. Also gibt es 180 Möglichkeiten. Somit haben
- wir jetzt alles zur Permutation gehört. Als nächstes kommen wir zur Variation. Bei der Variation wird jetzt immer eine Auswahl getroffen. Das unterscheidet sie
- von der Permutation. Außerdem ist die Reihenfolge der ausgewählten Elemente wichtig. Bei der Variation gibt es wiederum zwei verschiedene Arten. Für
- die erste Art schauen wir uns ein Beispiel an. Angenommen, ihr habt nicht für eure Klausuren gelernt und wollt trotzdem gute Noten schreiben. Was tut
- ihr genau, ihr lernt mit Simple Club. Aber was würdet ihr tun, wenn es Simple Club nicht geben würde? Richtig, ihr würdet euch in den Laptop eures Profs
- einhacken, ihr Schlangen. Der Laptop ist mit einem vierstelligen PIN geschützt. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es jetzt für diesen Pin? Erstmal
- lässt sich sagen, dass es auch mehrere gleiche Zahlen in dem PIN geben kann. Also sind Wiederholungen möglich. Die Formel, die ihr für solche Fälle
- verwenden müsst, ist folgende: n ist dabei die Anzahl der möglichen Zahlen, also 10. Man kann ja alle Zahlen von 0 bis 9 verwenden. K ist die Länge der
- Kombination, also 4, da ihr ja einen vierstelligen PIN habt. Somit sieht die Formel so aus. Also müsst ihr, wenn es schlecht läuft, 10.000 Versuche ausüben.
- Vielleicht ist dann lernen doch effektiver. Okay, die zweite Möglichkeit bei der Variation ist, wenn es keine Wiederholungen geben kann. Angenommen,
- es rechnen sich sieben Vereine die Chancen auf die ersten drei Plätze aus. Wie viele verschiedene Anordnungen kann es geben? Die Formel dafür sieht
- folgendermaßen aus. N ist dabei die Anzahl der Vereine, also 7 und K, die Anzahl der ersten drei Plätze, also 3. Die Rechnung besagt also, es gibt 210
- verschiedene Möglichkeiten der Anordnung. Der passende Befehl im Taschenrechner ist NPR. Prima. Das war's dann auch zu der Variation. Als letztes
- kommen wir jetzt noch zur Kombination. Dabei gibt es keine Reihenfolge und keine Wiederholung. Wir schauen uns dazu auch mal wieder ein Beispiel an.
- Angenommen, ihr sitzt in der Uni in einem Seminar. Insgesamt seid ihr mit zehn Studenten. Drei Studenten müssen ihre Präsentation vorstellen. Wie viele
- Kombinationen gibt es, wenn man aus diesen zehn Studenten drei auswählen möchte? Die Formel dafür ist n über k. Man kann das Ganze einfach so schreiben.
- Noch einfacher ist es, wenn man das Ganze mit NCR im Taschenrechner ausrechnet. Das war auch schon das Wichtigste. Was
- müsst ihr euch nun merken? Genau, als erstes natürlich alle Formeln. Dann ist es ganz wichtig, dass ihr euch bewusst macht, wann ihr welche Formel anwenden
- müsst. Hi, was geht ab? Hier ist Alex und Simpleclub. Wenn du bald dein Abi schreibst, dann musst du unbedingt unsere fertigen Abi Lernpläne in der App
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Zum Nachlesen
Variation (Kombinatorik)Eine Variation (von lateinisch variatio ‚Veränderung') ist in der Kombinatorik eine Auswahl von Objekten aus einer Menge in einer bestimmten Reihenfolge.
Abzählende KombinatorikDie abzählende Kombinatorik ist ein Teilbereich der Kombinatorik. Sie beschäftigt sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen.
Kombination (Kombinatorik)Können Objekte dabei mehrfach ausgewählt werden, so spricht man von einer Kombination mit Wiederholung. Darf dagegen jedes Objekt nur einmal auftreten, spricht …
PermutationUnter einer Permutation (von lateinisch permutare ‚vertauschen') versteht man in der Kombinatorik eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge.