Stehende Wellen verstehen und berechnen

Eine laufende Welle kann an einem Ende reflektiert werden. Überlagern sich die hin- und rücklaufende Welle bei gleicher Frequenz und Amplitude, addieren sich ihre Auslenkungen. Gleichgerichtete Auslenkungen verstärken sich, entgegengesetzte schwächen sich ab. Dieses Interferenz genannte Zusammenwirken bildet ein ortsfestes Muster. Die Teile des Mediums schwingen weiter, doch im idealen Muster fließt netto keine Energie in eine Ausbreitungsrichtung.

Ein Knoten bleibt ohne Auslenkung; ein Bauch hat die größte Schwingungsamplitude. Benachbarte Knoten sowie benachbarte Bäuche liegen jeweils \lambda/2 auseinander. Vom Knoten zum nächsten Bauch sind es \lambda/4.

Bei einer Saite ist die Auslenkung quer zur Ausbreitung, in einer Luftsäule längs dazu. Ein festes Seilende bildet wegen eines Phasensprungs um \pi einen Knoten; ein loses Ende ohne diesen Sprung einen Bauch. Für die Bewegung der Luft ist ein offenes Rohrende ein Bauch und ein geschlossenes ein Knoten.

Eine Mode ist ein stehendes Muster, das zu den Randbedingungen passt. Die niedrigste Eigenfrequenz gehört zur Grundschwingung; höhere Moden heißen Oberschwingungen.

Eine beidseitig feste Saite hat an beiden Enden Knoten. In die Länge L passen n halbe Wellenlängen, wobei n=1,2,3,\ldots die Modenzahl ist.

L=n\cdot\frac{\lambda_n}{2}

\lambda_n=\frac{2L}{n}

Mit der Wellengeschwindigkeit v=\lambda f folgt:

f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{nv}{2L}

An den festen Enden liegen Knoten. Dazwischen entstehen in Mode n genau n Bäuche. Die Tabelle zeigt die ersten drei Muster.

Bei einer beidseitig offenen Luftsäule liegen an beiden Enden Bewegungsbäuche. Auch hier passen n halbe Wellenlängen in die Länge; für dieses ideale Modell gelten dieselben Beziehungen für \lambda_n und f_n.

Hat eine Saite ein festes und ein loses Ende, muss das Muster an einem Knoten und einem Bauch enden. Entsprechend hat die Luftbewegung in einer einseitig geschlossenen Röhre am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch.

In der Grundschwingung passt ein Viertel der Wellenlänge in die Länge L.

L=\frac{\lambda_1}{4}

Jede weitere zulässige Mode fügt eine halbe Wellenlänge hinzu. Für n=1,2,3,\ldots gilt:

L=\frac{(2n-1)\lambda_n}{4}

\lambda_n=\frac{4L}{2n-1}

f_n=\frac{(2n-1)v}{4L}

Nur die ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz treten auf: f_1, 3f_1, 5f_1 und so weiter.

Im Kundtschen Staubrohr markiert Pulver die Knoten einer stehenden Schallwelle. Benachbarte Pulveransammlungen liegen \lambda/2 auseinander. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit wird im Beispiel als Modellwert vorgegeben.

Eine laufende Welle breitet sich aus und transportiert Energie. Bei einer Reflexion kehrt eine Welle an einer Begrenzung um. Ein kurzes reflektiertes Signal ist noch keine stehende Mode. Eine stehende Welle braucht die dauerhafte Überlagerung passender gegenläufiger Wellen. Bei Resonanz passt die Anregungsfrequenz zu einer Eigenfrequenz, sodass eine deutliche Eigenschwingung entsteht.

Auch zweidimensionale Systeme haben Moden: Auf einer Trommelmembran können Knotenlinien entstehen. Deren Muster hängt von Form und Größe ab.