Potentialtopfmodell: Quantisierung verstehen

Stell dir ein Teilchen der Masse m vor, das sich nur entlang einer Linie zwischen x=0 und x=L bewegen kann. Innerhalb dieses Bereichs ist seine potentielle Energie null. Außerhalb ist sie unendlich groß.

Die unendlich hohen Wände sind eine Idealisierung. Ein Teilchen mit endlicher Energie kann sie nicht durchdringen. Außerhalb des Topfes ist seine Aufenthaltswahrscheinlichkeit daher null.

Das Modell ist kein vollständiges Atommodell. Es zeigt aber besonders klar, wie räumliche Begrenzung und die Welleneigenschaften eines Teilchens diskrete Zustände erzeugen.

Ein Quantenteilchen wird durch eine Wellenfunktion Ψ(x) beschrieben. Im Modell wird seine Materiewelle an beiden Wänden vollständig reflektiert. Da es sich außerhalb nicht aufhalten kann, muss die Wellenfunktion an den Grenzen verschwinden:

Ψ(0)=0

Ψ(L)=0

Diese Vorgaben heißen Randbedingungen. Die Welle benötigt an beiden Wänden einen Knoten. Das ist vergleichbar mit einer Saite, die an beiden Enden fest eingespannt ist. In die Länge L müssen deshalb genau n halbe Wellenlängen passen:

L=n·λ/2

Daraus folgt:

λ_n=2L/n

Die Quantenzahl n kann nur positive ganze Werte 1,2,3,... annehmen. Für n=0 entstünde eine überall verschwindende Wellenfunktion. Sie könnte kein Teilchen beschreiben.

Für eine Wellenzahl k=2π/λ ergeben sich die erlaubten Werte

k_n=nπ/L

und die zugehörigen Wellenfunktionen haben die Form

Ψ_n(x)=A·sin(nπx/L)

Der Faktor A wird durch die Normierung festgelegt: Die gesamte Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Topf muss eins sein. Für die Auswahl der zulässigen Formen ist entscheidend, dass der Sinus an beiden Grenzen null wird.

Für die folgende Energieformel betrachten wir Geschwindigkeiten deutlich unter der Lichtgeschwindigkeit. Dann gilt die nichtrelativistische Beziehung E=p^2/(2m). Die De-Broglie-Beziehung verbindet die Wellenlänge λ einer frei laufenden Teilwelle mit ihrem Impulsbetrag p; h ist das Plancksche Wirkungsquantum:

λ=h/p

Der stehende Zustand hat keinen festen messbaren Impuls. p ist hier ein aus der Wellenlänge berechneter Rechenwert. Mit λ_n=2L/n folgt:

p_n=hn/(2L)

Im Inneren ist die potentielle Energie null. Die Gesamtenergie entspricht daher der kinetischen Energie:

E_n=p_n^2/(2m)

Einsetzen liefert:

E_n=h^2n^2/(8mL^2)

Die Randbedingungen schränken zuerst die Wellenlängen und Wellenzahlen ein. Dadurch sind nur bestimmte Energien möglich: Die Energie ist quantisiert. Bei festem n und L ist sie umgekehrt proportional zur Masse m. Bei festem n und m sinkt sie mit dem Quadrat der Breite L.

Der niedrigste Zustand hat n=1 und damit eine Energie größer als null. Diese Mindestenergie heißt Nullpunktsenergie. Ein Zustand mit E=0 wäre hier nicht möglich, weil dafür n=0 nötig wäre.

Die Wellenfunktion selbst ist keine klassische Bahn. Ihr Betragsquadrat |Ψ(x)|^2 beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Aufenthaltsort des Teilchens.

Wo Ψ(x)=0 ist, verschwindet auch die Wahrscheinlichkeitsdichte. Solche Orte heißen Knoten. Die beiden Topfränder sind in jedem zulässigen Zustand Knoten.

Im Grundzustand n=1 gibt es zwischen den Wänden keinen weiteren Knoten. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist in der Mitte am größten. Mit wachsendem n entstehen mehr Knoten im Inneren: n=1: kein innerer Knoten, n=2: ein innerer Knoten, n=3: zwei innere Knoten. Allgemein besitzt der Zustand n genau n-1 innere Knoten.

Die Knoten und Bäuche einer solchen stehenden Welle bleiben an festen Orten. Auch die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert sich nicht mit der Zeit. Deshalb spricht man von einem stationären Zustand.

Das Modell kann näherungsweise auf eingeschlossene Elektronen in bestimmten Molekülen angewandt werden. Sein wichtigster Nutzen ist jedoch die Erklärung des Quantisierungsmechanismus.

Als vollständiges Atommodell ist es ungeeignet: Es besitzt nur eine räumliche Dimension. Im Inneren fehlt ein positiv geladener Atomkern. Das reale Potential eines Atoms ist nicht rechteckig und nicht überall null. Ein Orbital ist eine dreidimensionale räumliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, kein eindimensionaler Kasten und keine klassische Bahn.

Der Potentialtopf liefert nicht die tatsächlichen Energieniveaus des Wasserstoffatoms. Er zeigt zuverlässig die allgemeinere Idee: Wellenbeschreibung, räumliche Begrenzung und Randbedingungen können diskrete Energien erzeugen.