Physik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Spezielle Relativitätstheorie: Zeit und Länge berechnen
Berechne Zeitdilatation, Längenkontraktion und Energie mit dem Lorentzfaktor und unterscheide Messgrößen der Inertialsysteme.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die spezielle Relativitätstheorie beschreibt Messungen gleichförmig bewegter Inertialsysteme. Licht hat im Vakuum in jedem Inertialsystem den Wert c. Bei 0{,}6c gilt \gamma=1{,}25: Aus 12\,\mathrm{min} Eigenzeit werden 15\,\mathrm{min}; aus 50\,\mathrm m Ruhelänge in Flugrichtung 40\,\mathrm m.
Die spezielle Relativitätstheorie beschreibt, wie bewegte Beobachter Zeit, Länge und Gleichzeitigkeit messen. Ihr überraschender Ausgangspunkt: In allen gleichförmig bewegten Bezugssystemen gelten dieselben Naturgesetze, und alle Inertialbeobachter messen für Licht im Vakuum dieselbe Geschwindigkeit. Auf dieser Seite lernst du, Zeitdilatation und Längenkontraktion zu verstehen, einfache Aufgaben mit dem Lorentzfaktor zu lösen und Masse und Energie zu verknüpfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Bezugssystem legt fest, relativ wozu du Orte, Zeiten und Bewegungen angibst. Ein idealisierter Zug fährt ohne Ruckeln geradlinig und gleichförmig. Experimente allein im geschlossenen Wagen verraten keine absolute Ruhe. Zug und Strecke behandeln wir näherungsweise als Inertialsysteme; Erdrotation und Gravitationseffekte auf die Zeitmessung vernachlässigen wir.
Die spezielle Relativitätstheorie beruht auf zwei Prinzipien: Naturgesetze haben in allen Inertialsystemen dieselbe Gestalt. Jeder Inertialbeobachter misst für Licht im Vakuum den exakt festgelegten Wert c=299\,792\,458\,\mathrm{m/s}, unabhängig von der Bewegung der Quelle oder des Beobachters.
Klassisch ergäbe sich für gleichgerichtete Bewegungen u=u'+v. Für geradlinige Bewegung mit 0\leq v\lt c gilt relativistisch
u=\frac{u'+v}{1+u'v/c^2}
Dabei ist u' die Geschwindigkeit im Zug, u die Geschwindigkeit relativ zur Strecke und v die Zuggeschwindigkeit. Für u'=c folgt u=c, weil c+v=c(1+v/c). Ein Inertialbeobachter holt Licht nicht ein.
Definition
Inertialsystem
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem ein Körper ohne resultierende Kraft in Ruhe bleibt oder sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Ein System, das sich relativ dazu geradlinig und gleichförmig bewegt, ist ebenfalls ein Inertialsystem. Ein bremsender oder durch eine Kurve fahrender Zug ist dagegen kein Inertialsystem.
Merke: Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist für alle Inertialbeobachter gleich. Ihre Raum- und Zeitmessungen hängen so zusammen, dass jeder denselben Wert für c erhält.
Beispiel: Die spezielle Relativitätstheorie beruht auf zwei Grundprinzipien
- 1Relativitätsprinzip: Die physikalischen Gesetze haben in allen Inertialsystemen dieselbe Gestalt.
- 2Lichtgeschwindigkeit: Jeder Inertialbeobachter misst für Licht im Vakuum den Wert c=299\,792\,458\,\mathrm{m/s} – unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle oder des Beobachters.
Teste dich
Ein Ereignis geschieht an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit, etwa ein Blitzeinschlag. Innerhalb eines Inertialsystems sind Uhren so synchronisiert, dass Lichtlaufzeiten berücksichtigt sind. Zwei räumlich getrennte Ereignisse sind dort gleichzeitig, wenn die Uhren ihnen dieselbe Systemzeit zuordnen.
In einem Gedankenexperiment fährt ein Zug geradlinig nach vorn. Zwei Blitze treffen seine Enden im Streckensystem gleichzeitig, genau während die Zugmitte an einer Person an der Strecke vorbeifährt. Diese steht in der Mitte der Einschlagorte und empfängt beide Signale gleichzeitig. Die Person in der Zugmitte bewegt sich dem vorderen Licht entgegen und vom hinteren weg. Sie empfängt das vordere Signal früher. Da sie von beiden Zugenden gleich weit entfernt ist und in ihrem System Licht aus beiden Richtungen gleich schnell läuft, folgert sie: Der vordere Blitz schlug im Zugsystem früher ein.
Ein früherer Empfang allein beweist das nicht. Erst der Vergleich nach Laufzeitkorrektur mit synchronisierten Uhren zeigt unterschiedliche Ereigniszeiten.
Merke: „Gleichzeitig“ ist bei räumlich getrennten Ereignissen keine absolute Aussage. Du musst immer angeben, in welchem Inertialsystem die Zeiten gemessen werden.
Teste dich
Der Lorentzfaktor \gamma (Gamma) gibt die Stärke relativistischer Effekte an. Für den Betrag v der Relativgeschwindigkeit gilt 0\leq v\lt c und
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}
Bei v=0 ist \gamma=1. Bei Geschwindigkeiten weit unter c liegt \gamma nahe bei 1; klassische Näherungen funktionieren dann gut. Nähert sich v dem Wert c, wächst \gamma ohne Grenze; ein massebehafteter Körper erreicht c nicht.
Die Eigenzeit \Delta\tau misst eine einzige Uhr, die bei beiden Ereignissen dabei ist. Im Ruhesystem dieser gleichförmig bewegten Uhr geschehen sie am selben Ort. Die Koordinatenzeit \Delta t wird im anderen Inertialsystem mit dort synchronisierten Uhren bestimmt. Für eine Uhr mit konstanter Geschwindigkeit gilt
\Delta t=\gamma\,\Delta\tau
Daher ist \Delta t\geq\Delta\tau. Bei gleichförmiger Relativbewegung kann jedes System die jeweils andere Uhr als langsamer einstufen. Das ist möglich, weil sich die verglichenen gleichzeitig genannten Ereignispaare unterscheiden. Ein späterer direkter Vergleich nach Umkehr enthält eine Beschleunigung und ist nicht symmetrisch.
Definition
Eigenzeit
Die Eigenzeit \Delta\tau (Delta Tau) ist die Zeitspanne, die eine einzige Uhr zwischen zwei Ereignissen auf ihrem Weg misst. Diese Uhr ist bei beiden Ereignissen dabei. Bei gleichförmiger Bewegung finden die Ereignisse im Ruhesystem der Uhr am selben Ort statt. Das Zeichen \Delta bedeutet hier eine Zeitdifferenz.
Beispiel
- 1Als fiktives Rechenbeispiel betrachten wir ein Teilchen, das sich im Labor gleichförmig mit v=0{,}6c bewegt. Zwischen zwei Ereignissen auf seinem Weg vergehen im Ruhesystem des Teilchens 8\,\mathrm{\mu s}. Du kannst dir das als Anzeige einer mitbewegten Uhr vorstellen. Eine Mikrosekunde (\mathrm{\mu s}) ist ein Millionstel einer Sekunde.
- 2Zuerst bestimmst du den Lorentzfaktor:
- 3\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}6^2}}=\frac{1}{0{,}8}=1{,}25
- 4Dann berechnest du die Zeit im Laborsystem:
- 5\Delta t=1{,}25\cdot 8\,\mathrm{\mu s}=10\,\mathrm{\mu s}
- 6Im Laborsystem vergehen also 10\,\mathrm{\mu s}, während die Uhr des Teilchens 8\,\mathrm{\mu s} misst.
Teste dich
Die Ruhelänge l_0 misst du im Ruhesystem des Gegenstands. In einem System, in dem er sich bewegt, ist die Länge in Bewegungsrichtung
l=\frac{l_0}{\gamma}
Vorder- und Hinterende müssen im Messsystem gleichzeitig erfasst werden. Quer zur Bewegung tritt keine Längenkontraktion auf.
Die geschwindigkeitsunabhängige Ruhemasse m gehört einem Körper, dessen innerer Zustand hier unverändert bleibt. Er hat schon in Ruhe die Energie
E_0=mc^2
Für einen bewegten Körper mit m>0 gelten für Gesamtenergie E, Impulsbetrag p und kinetische Energie E_{\mathrm{kin}}:
E=\gamma mc^2
p=\gamma mv
E_{\mathrm{kin}}=E-E_0=(\gamma-1)mc^2
Der Impuls beschreibt den Bewegungszustand; klassisch kennst du p=mv. Außerdem gilt für Energie und Impuls
E^2=E_0^2+(pc)^2
Die Geschwindigkeitsabhängigkeit steht in \gamma, nicht in der Ruhemasse. Bei v nahe c würde eine weitere Beschleunigung eines massebehafteten Körpers unbegrenzt viel Energie erfordern.
Beispiel
- 1In einem fiktiven Rechenbeispiel besitzt ein Raumschiff eine Ruhelänge von 80\,\mathrm{m} und fliegt mit 0{,}6c an einer Raumstation vorbei. Für diese Geschwindigkeit gilt \gamma=1{,}25.
- 2l=\frac{80\,\mathrm{m}}{1{,}25}=64\,\mathrm{m}
- 3Die Raumstation misst in Flugrichtung eine Länge von 64\,\mathrm{m}. Quer zur Bewegung tritt keine Längenkontraktion auf.
Merke: Zeitdilatation betrifft Zeitintervalle, Längenkontraktion betrifft Längen in Bewegungsrichtung. Beide sind Messergebnisse eines festgelegten Inertialsystems – keine bloßen optischen Täuschungen.
Beispiel
- 1Für ein fiktives Rechenbeispiel bewegt sich ein Körper mit 0{,}6c. Dann ist \gamma=1{,}25.
- 2Seine Gesamtenergie beträgt:
- 3E=1{,}25mc^2
- 4Davon ist mc^2 Ruheenergie. Somit bleibt als kinetische Energie:
- 5E_{\mathrm{kin}}=(1{,}25-1)mc^2=0{,}25mc^2
- 6Die kinetische Energie entspricht in diesem Fall einem Viertel der Ruheenergie.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Spezielle Relativitätstheorie
Grundprinzipien
Relativitätsprinzip und konstante Lichtgeschwindigkeit
Raum und Zeit
Gleichzeitigkeit hängt vom Inertialsystem ab
Zeitdilatation
\Delta t=\gamma\Delta\tau
Längenkontraktion
l=l_0/\gamma
Energie
E_0=mc^2 und E=\gamma mc^2
Grenze
Massebehaftete Körper erreichen c nicht
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Borduhr und Raumschifflänge berechnen
- 1Ein Raumschiff bewegt sich mit v=0{,}6c relativ zur Kontrolle. Die Borduhr misst \Delta\tau=12\,\mathrm{min}; seine Ruhelänge ist l_0=50\,\mathrm m.
- 2\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}6^2}}=1{,}25
- 3\Delta t=1{,}25\cdot12\,\mathrm{min}=15\,\mathrm{min}
- 4l=50\,\mathrm m:1{,}25=40\,\mathrm m
- 5Die Kontrolle misst beide Enden gleichzeitig; die Länge gilt nur in Flugrichtung.
Fehler finden
Bewegte Stablänge prüfen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Ruhelänge muss durch den Lorentzfaktor geteilt werden: l=70\,\mathrm m:1{,}25=56\,\mathrm m. Multiplizieren würde eine Verlängerung liefern.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein Inertialbeobachter misst für Licht im Vakuum Wert c. Die Uhr bei beiden Ereignissen misst die . Die bewegte Länge in Flugrichtung ist als die Ruhelänge.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback