Physik · Klasse 11–13 · aktualisiert
Relativitätstheorie: Raum, Zeit und Gravitation
Wie Bewegung und Gravitation Raum und Zeit verändern: von der Lichtgeschwindigkeit bis zur gekrümmten Raumzeit.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die spezielle Relativitätstheorie verknüpft Raum- und Zeitmessungen gleichförmig bewegter Inertialsysteme; Licht hat im Vakuum in jedem Inertialsystem denselben Wert c. Die allgemeine beschreibt Gravitation als gekrümmte Raumzeit. Beide erklären zusammen die Uhrenraten von Satelliten.
Die Relativitätstheorie beschreibt Raum und Zeit nicht als starre Bühne. Gleichförmige Bewegung verändert gemessene Zeitspannen, Längen und Gleichzeitigkeit; Masse und Energie krümmen die Raumzeit und erzeugen so Gravitation.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Raumschiff fliegt gleichförmig an der Erde vorbei. Ein Planet verändert dagegen die Bewegung eines Satelliten. Für die erste Situation brauchst du die spezielle Relativitätstheorie, für die zweite die allgemeine Relativitätstheorie.
Definition
Inertialsystem
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem sich ein kräftefreier Körper geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Gleichförmig relativ zueinander bewegte Inertialsysteme sind gleichberechtigt.
| Theorie | Leitfrage | Geltungsbereich |
|---|---|---|
| Spezielle Relativitätstheorie | Wie hängen Raum- und Zeitmessungen von gleichförmiger Relativbewegung ab? | Inertialsysteme; keine Gravitation |
| Allgemeine Relativitätstheorie | Wie beeinflussen Materie und Energie die Raumzeit? | Gravitation und beschleunigte Bezugssysteme |
Merke: „Relativ“ bedeutet nicht „beliebig“. Unterschiedliche Messwerte sind durch genaue Gesetze verknüpft.
Teste dich
Die spezielle Relativitätstheorie hat zwei Postulate. Das Relativitätsprinzip besagt: Die Naturgesetze haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form. Das zweite Postulat besagt: Alle Inertialbeobachter messen für Licht im Vakuum denselben, exakt festgelegten Wert c=299\,792\,458\,\mathrm{m/s}, unabhängig von der Bewegung der Quelle oder des Beobachters.
Die klassische Addition von Geschwindigkeiten passt deshalb nicht für Licht. Raum- und Zeitkoordinaten hängen vom Inertialsystem ab. Zwei räumlich getrennte Ereignisse können in einem System gleichzeitig sein und im anderen zu verschiedenen Zeiten stattfinden. Dafür werden Uhren innerhalb jedes Systems synchronisiert und Lichtlaufzeiten berücksichtigt.
Beispiel: Derselbe Lichtpuls
- 1Eine Person auf einer Raumstation und eine gleichförmig vorbeifliegende Person messen denselben Lichtpuls im Vakuum.
- 2Beide messen für seine Geschwindigkeit c, obwohl ihre Raum- und Zeitkoordinaten verschieden sind.
Beispiel: Zwei Lichtsignale
- 1Zwei Baken an einer Raumstation senden gleichzeitig Lichtsignale aus, als die Mitte eines Raumschiffs ihre Mitte passiert. Eine Person in der Stationsmitte empfängt beide Signale gleichzeitig.
- 2Die Person im vorbeifliegenden Raumschiff bewegt sich einem Signal entgegen und vom anderen weg; sie empfängt sie zu verschiedenen Zeiten.
- 3Erst nach Berücksichtigung der Lichtlaufzeiten und der Uhrensynchronisation ordnet sie den Aussendungen in ihrem System verschiedene Zeiten zu.
Merke: Trenne das Ereignis, die Laufzeit seines Lichtsignals und die Zeitkoordinate, die ein Inertialsystem dem Ereignis zuordnet.
Teste dich
Für den Betrag v der Relativgeschwindigkeit zweier Inertialsysteme gilt 0\leq v\lt c. Der Lorentzfaktor ist
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}
Daraus folgt \gamma\geq1. Bei Alltagsgeschwindigkeiten liegt er nahe bei 1. Zwischen zwei Ereignissen am Ort einer mitbewegten Uhr misst diese die Eigenzeit \Delta\tau; im anderen System gilt \Delta t=\gamma\Delta\tau. Die Eigenlänge L_0 misst du im Ruhesystem eines Körpers. Im System, in dem er sich bewegt, gilt entlang der Bewegung L=L_0/\gamma. Dort müssen beide Enden gleichzeitig erfasst werden.
Jedes Inertialsystem kann die jeweils andere bewegte Uhr als langsamer beurteilen. Dabei vergleichen die Systeme wegen unterschiedlicher Gleichzeitigkeit verschiedene Ereignispaare an räumlich getrennten Uhren. Bei einer Wiederbegegnung lassen sich die Eigenzeiten direkt vergleichen; dazu muss mindestens eine Uhr ihr Inertialsystem wechseln.
Definition
Eigenzeit
Die Eigenzeit \Delta \tau misst eine Uhr zwischen zwei Ereignissen an ihrem eigenen Ort. In einem System, in dem diese Uhr bewegt ist, gilt \Delta t = \gamma \Delta \tau.
Definition
Eigenlänge
Die Eigenlänge L_0 ist die Länge eines Körpers in seinem Ruhesystem. Ein System, in dem er sich bewegt, misst parallel zur Bewegung gleichzeitig an beiden Enden L = L_0/\gamma.
Beispiel: Uhr und Länge einer Messplattform
- 1Eine idealisierte Messplattform fliegt mit v=0{,}8c. Ihre Uhr misst \Delta\tau=3{,}0\,\mathrm{\mu s}. Ihre Ruhelänge beträgt L_0=150\,\mathrm m.
- 2Der Lorentzfaktor ist
- 3\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}8^2}}=\frac{5}{3}
- 4Im Erdsystem vergehen
- 5\Delta t=\frac{5}{3}\cdot3{,}0\,\mathrm{\mu s}=5{,}0\,\mathrm{\mu s}
- 6Die gleichzeitig im Erdsystem gemessene Länge in Flugrichtung ist
- 7L=150\,\mathrm m:\frac{5}{3}=90\,\mathrm m
- 8Quer zur Bewegung bleibt die Länge unverändert.
Teste dich
Ein Körper mit Ruhemasse m besitzt die Ruheenergie
E_0=mc^2
Sie ist bereits im Ruhesystem vorhanden; bei Bewegung kommt kinetische Energie hinzu. Bei realen Umwandlungen entspricht oft nur eine Massedifferenz der frei werdenden Energie.
In der allgemeinen Relativitätstheorie beeinflussen Materie und Energie die vierdimensionale Raumzeit. Körper und Licht folgen darin den geradestmöglichen Bahnen, den Geodäten. Gravitation zeigt sich so als Geometrie. Dazu gehören Lichtablenkung, schwarze Löcher, Gravitationswellen und unterschiedliche Uhrenraten in verschieden starken Gravitationsfeldern.
Bei Satellitennavigation wirken beide Theorien: Bewegung und unterschiedliche Gravitationsstärke verändern die Uhrenraten. Ohne entsprechende Korrekturen würden Positionsfehler entstehen.
Beispiel: Ruheenergie von einem Gramm
- 1Gegeben sind m=1{,}0\,\mathrm g=0{,}0010\,\mathrm{kg} und der exakte Wert c=299\,792\,458\,\mathrm{m/s}.
- 2E_0=0{,}0010\,\mathrm{kg}\cdot c^2
- 3c^2=(299\,792\,458\,\mathrm{m/s})^2
- 4E_0\approx9{,}0\cdot10^{13}\,\mathrm J
- 5Der Wert zeigt die Größenordnung der zur Masse gehörenden Ruheenergie. In realen Vorgängen wird gewöhnlich nur eine Massedifferenz umgewandelt.
Beispiel
- 1Ein gespanntes Tuch mit einer schweren Kugel kann veranschaulichen, dass Masse die Umgebung und dadurch andere Bahnen verändert.
- 2Die Analogie ist begrenzt: Das Tuch ist zweidimensional, wird durch irdische Gravitation nach unten gezogen und zeigt nicht die vollständige Raumzeit.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Relativitätstheorie
Spezielle Theorie
Inertialsysteme, Relativitätsprinzip und konstantes c
Gleichzeitigkeit
In einem System gleichzeitige Ereignisse an verschiedenen Orten können im anderen zu verschiedenen Zeiten stattfinden
Zeit und Länge
\Delta t=\gamma\Delta\tau und L=L_0/\gamma gelten für festgelegte Messungen
Ruheenergie
E_0=mc^2 gehört zur Ruhemasse
Allgemeine Theorie
Materie und Energie krümmen Raumzeit; Gravitation beeinflusst Bahnen und Uhren
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Energie aus einer Massendifferenz
- 1Bei einem gedachten Vorgang sinkt die Ruhemasse eines Systems um \Delta m=2{,}0\,\mathrm{mg}; die entsprechende Energie wird abgegeben. Verwende c\approx3{,}00\cdot10^8\,\mathrm{m/s}.
- 2\Delta m=2{,}0\cdot10^{-6}\,\mathrm{kg}
- 3c^2\approx9{,}00\cdot10^{16}\,\mathrm{m^2/s^2}
- 4\Delta E=\Delta m\,c^2
- 5\Delta E\approx2{,}0\cdot10^{-6}\,\mathrm{kg}\cdot9{,}00\cdot10^{16}\,\mathrm{m^2/s^2}
- 6\Delta E\approx1{,}8\cdot10^{11}\,\mathrm J
- 7Das ist die zur Massendifferenz gehörende Energiedifferenz, nicht die gesamte Ruheenergie des Systems.
Fehler finden
Satellitensignal richtig deuten In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die spätere Ankunft allein beweist keine langsamere Uhr. Zuerst muss die Signallaufzeit berücksichtigt werden.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
In gleichförmig bewegten Systemen hat Licht im Vakuum Geschwindigkeitswert. Eine bewegte Uhr sammelt zwischen zwei Ereignissen an. Gravitation beschreibt die allgemeine Theorie mit gekrümmter .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback