Physik · Klasse 10–11 · aktualisiert
Impulserhaltung: Stöße sicher berechnen
Löse Stoßaufgaben mit gerichteten Impulsen und prüfe, wann ein gemeinsames Endtempo zulässig ist.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Bei einem Stoß bleibt der gerichtete Gesamtimpuls erhalten, wenn währenddessen kein wirksamer äußerer Kraftstoß auf das System wirkt. Für zusammenhaftende Körper gilt m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v'; die Vorzeichen bilden die Richtungen ab.
Bei einem Stoß bleibt der Gesamtimpuls erhalten, wenn während der Wechselwirkung kein wirksamer äußerer Kraftstoß auf das betrachtete System wirkt. Deshalb ist die Summe aller Impulse vor dem Stoß genauso groß und gleich gerichtet wie danach. Du lernst, Impulse mit Vorzeichen zu bilanzieren, die gemeinsame Geschwindigkeit nach einem vollständig unelastischen Stoß zu berechnen und Impuls- von Energieerhaltung zu unterscheiden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein schwerer oder schneller Körper kann einen großen Impuls haben. Ein ruhender Körper hat Impuls null. Für eine Stoßbilanz zählt auch die Richtung: Auf einer Geraden legst du zuerst die positive Richtung fest. Bewegung in Gegenrichtung bekommt ein negatives Vorzeichen. So können sich Impulse auch aufheben.
Definition
Impuls
Der gerichtete Impuls eines Körpers ist p=mv. Dabei ist m die Masse in Kilogramm und v die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde. Die Einheit ist \mathrm{kg\,m/s}, gleichwertig zu \mathrm{N\,s}.
Beispiel: Richtung eines Wagenimpulses
- 1Ein Wagen mit m=0{,}5\,\mathrm{kg} fährt mit v=2\,\mathrm{m/s} nach rechts. Rechts ist positiv.
- 2Sein Impuls ist p=0{,}5\,\mathrm{kg}\cdot2\,\mathrm{m/s}=+1\,\mathrm{kg\,m/s}.
- 3Bei derselben Geschwindigkeit nach links wäre v=-2\,\mathrm{m/s} und damit p=-1\,\mathrm{kg\,m/s}.
Teste dich
Betrachte bei einem Stoß alle beteiligten Körper als ein System. Sind äußere Kraftstöße während der kurzen Wechselwirkung vernachlässigbar, bleibt der Gesamtimpuls konstant. Die Stoßkräfte zwischen den Körpern sind innere Kräfte: Sie ändern Einzelimpulse entgegengesetzt, aber nicht deren Summe.
Bei äußeren Kräften musst du prüfen, ob sie während des Stoßes vernachlässigbar sind. Auf einer nahezu reibungsfreien Bahn ist diese Näherung oft passend. Lege für die Bilanz die positive Richtung fest, notiere alle Geschwindigkeiten mit Vorzeichen, addiere die Anfangsimpulse, setze sie gleich den Endimpulsen und prüfe das Ergebnis.
Merke: Für ein System ohne wirksamen äußeren Kraftstoß gilt: p_{\mathrm{ges,vor}}=p_{\mathrm{ges,nach}} Für zwei Körper auf einer Geraden lautet die Bilanz m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2. Die Striche kennzeichnen Geschwindigkeiten nach dem Stoß.
Beispiel: Getrennte Wagen nach dem Stoß
- 1Zwei Wagen bleiben nach einem kurzen Stoß getrennt. Wagen 1 hat m_1=0{,}4\,\mathrm{kg} und fährt mit v_1=3\,\mathrm{m/s} nach rechts. Wagen 2 hat m_2=0{,}2\,\mathrm{kg} und fährt mit v_2=-1\,\mathrm{m/s} nach links. Danach fährt Wagen 1 mit v'_1=1\,\mathrm{m/s} nach rechts. Rechts ist positiv; äußere Kraftstöße werden vernachlässigt.
- 2Vor dem Stoß sind p_1=0{,}4\,\mathrm{kg}\cdot3\,\mathrm{m/s}=1{,}2\,\mathrm{kg\,m/s} und p_2=0{,}2\,\mathrm{kg}\cdot(-1\,\mathrm{m/s})=-0{,}2\,\mathrm{kg\,m/s}. Zusammen gilt p_{\mathrm{vor}}=1\,\mathrm{kg\,m/s}.
- 3Danach gilt 1\,\mathrm{kg\,m/s}=0{,}4\,\mathrm{kg}\cdot1\,\mathrm{m/s}+0{,}2\,\mathrm{kg}\cdot v'_2.
- 4Also 0{,}6\,\mathrm{kg\,m/s}=0{,}2\,\mathrm{kg}\cdot v'_2 und v'_2=3\,\mathrm{m/s}. Das positive Ergebnis zeigt nach rechts.
Beispiel: Schritte einer eindimensionalen Stoßbilanz
- 1Lege die positive Richtung fest.
- 2Notiere alle Massen und Geschwindigkeiten mit Einheit und Vorzeichen.
- 3Berechne oder notiere die Impulse vor dem Stoß.
- 4Setze den Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß gleich.
- 5Löse nach der gesuchten Größe auf und prüfe Richtung, Einheit und Plausibilität.
Teste dich
Bleiben zwei Körper nach dem Stoß aneinander haften, haben sie anschließend dieselbe Geschwindigkeit v'. Das heißt vollständig unelastischer Stoß. Dann addierst du ihre Massen für den Endimpuls:
m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v'
Daraus folgt:
v'=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}
Die Anfangsgeschwindigkeiten tragen Vorzeichen. Diese Gleichung setzt voraus, dass äußere Kraftstöße während des Stoßes vernachlässigbar sind.
Beispiel: Gekoppelte Wagen
- 1Wagen 1 mit m_1=0{,}6\,\mathrm{kg} fährt mit v_1=3\,\mathrm{m/s} nach rechts. Wagen 2 mit m_2=0{,}4\,\mathrm{kg} ruht. Sie bleiben nach dem Stoß gekoppelt; äußere Kraftstöße werden vernachlässigt. Rechts ist positiv.
- 2Vor dem Stoß hat Wagen 1 den Impuls 0{,}6\,\mathrm{kg}\cdot3\,\mathrm{m/s}=1{,}8\,\mathrm{kg\,m/s}. Wagen 2 ruht und trägt 0\,\mathrm{kg\,m/s} bei; zusammen ist p_{\mathrm{vor}}=1{,}8\,\mathrm{kg\,m/s}.
- 3Die Gesamtmasse nach dem Stoß beträgt 1{,}0\,\mathrm{kg}. Damit ist 1{,}8\,\mathrm{kg\,m/s}=1{,}0\,\mathrm{kg}\cdot v'.
- 4Es folgt v'=1{,}8\,\mathrm{m/s} nach rechts. Das liegt zwischen den Anfangsgeschwindigkeiten 0\,\mathrm{m/s} und 3\,\mathrm{m/s}.
Teste dich
Im abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls bei elastischen und unelastischen Stößen erhalten. Die kinetische Energie bleibt nur bei einem elastischen Stoß vollständig erhalten. Beim unelastischen Stoß wird ein Teil davon in Verformung oder thermische Energie umgewandelt. Beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper zusammen.
Für den Haftstoß aus dem Wagenbeispiel gilt E_{\mathrm{kin}}=\frac12mv^2. Vorher sind es E_{\mathrm{vor}}=\frac12\cdot0{,}6\,\mathrm{kg}\cdot(3\,\mathrm{m/s})^2=2{,}7\,\mathrm{J}. Danach sind es E_{\mathrm{nach}}=\frac12\cdot1{,}0\,\mathrm{kg}\cdot(1{,}8\,\mathrm{m/s})^2=1{,}62\,\mathrm{J}. Die Differenz 1{,}08\,\mathrm{J} wurde in andere Energieformen umgewandelt; der Gesamtimpuls von 1{,}8\,\mathrm{kg\,m/s} blieb erhalten.
Merke: Impulserhaltung begrenzt die möglichen gerichteten Bewegungen. Die Gesamtenergie bleibt auch bei einem unelastischen Stoß erhalten. Nur bei einem elastischen Stoß bleibt zusätzlich die kinetische Energie vollständig erhalten.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Impulserhaltung
Impuls
Masse mal gerichtete Geschwindigkeit.
Voraussetzung
Äußere Kraftstöße sind im betrachteten Stoß vernachlässigbar.
Bilanz
Anfangs- und Endimpulse werden mit Vorzeichen summiert.
Haftstoß
Beide Massen tragen eine gemeinsame Endgeschwindigkeit.
Elastischer Stoß
Zusätzlich bleibt die kinetische Energie erhalten.
Unelastischer Stoß
Kinetische Energie wird teilweise umgewandelt.
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Haftstoß mit Gegenbewegung
- 1Wagen A mit m_A=0{,}7\,\mathrm{kg} fährt mit v_A=4\,\mathrm{m/s} nach rechts. Wagen B mit m_B=0{,}5\,\mathrm{kg} fährt mit v_B=-2\,\mathrm{m/s} nach links. Nach dem kurzen Stoß bleiben sie zusammen. Rechts ist positiv; äußere Kraftstöße werden vernachlässigt.
- 2Zuerst die Einzelimpulse: p_A=0{,}7\,\mathrm{kg}\cdot4\,\mathrm{m/s}=2{,}8\,\mathrm{kg\,m/s} und p_B=0{,}5\,\mathrm{kg}\cdot(-2\,\mathrm{m/s})=-1{,}0\,\mathrm{kg\,m/s}. Damit ist p_{\mathrm{vor}}=1{,}8\,\mathrm{kg\,m/s}.
- 3Nach dem Stoß beträgt die gemeinsame Masse 0{,}7\,\mathrm{kg}+0{,}5\,\mathrm{kg}=1{,}2\,\mathrm{kg}. Die Bilanz lautet 1{,}8\,\mathrm{kg\,m/s}=1{,}2\,\mathrm{kg}\cdot v'.
- 4Daraus folgt v'=\frac{1{,}8\,\mathrm{kg\,m/s}}{1{,}2\,\mathrm{kg}}=1{,}5\,\mathrm{m/s}. Das Pluszeichen zeigt nach rechts.
- 5Das Ergebnis liegt zwischen den gerichteten Anfangsgeschwindigkeiten und passt zur gemeinsamen Bewegung.
Fehler finden
Vorzeichen im Haftstoß In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Die Geschwindigkeit von B ist negativ: p_{\mathrm{vor}}=4{,}5\,\mathrm{kg\,m/s}+0{,}3\,\mathrm{kg}\cdot(-3\,\mathrm{m/s}) =3{,}6\,\mathrm{kg\,m/s}. Daher v'=3{,}6\,\mathrm{kg\,m/s}:1{,}2\,\mathrm{kg} =3\,\mathrm{m/s} nach rechts.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Vor einer Stoßrechnung legst du zuerst die Richtung fest. Ein Körper in der Gegenrichtung erhält eine Geschwindigkeit. In einem abgeschlossenen System ist der vor und nach dem Stoß gleich.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback