Gravitationsgesetz: Formel, Kräfte und Abstand

Gravitation ist die gegenseitige Anziehung von Körpern aufgrund ihrer Massen. Sie wirkt zwischen Alltagsgegenständen ebenso wie zwischen Erde, Mond und Sonne. Zwischen kleinen Körpern ist sie wegen der sehr kleinen Gravitationskonstante meist nicht bemerkbar.

Körper 1 zieht Körper 2 an. Gleichzeitig zieht Körper 2 Körper 1 an. Beide Kräfte sind gleich groß, zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen. Sie bilden ein Kräftepaar. Auch bei sehr ungleichen Massen sind die Kräfte gleich groß. Die Beschleunigungen können trotzdem verschieden sein: Nach a=F/m erfährt der Körper mit der kleineren Masse bei gleichem Kraftbetrag die größere Beschleunigung.

Für zwei idealisierte Punktmassen beschreibt das Gravitationsgesetz den Kraftbetrag:

F_\mathrm G=G\frac{m_1m_2}{r^2}

Dabei ist F_\mathrm G der Kraftbetrag in Newton, m_1 und m_2 sind die Massen in Kilogramm und r ist ihr Schwerpunktabstand in Metern. G ist die gemessene Gravitationskonstante; nach CODATA 2022 gilt näherungsweise:

G\approx6{,}67430\cdot10^{-11}\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^2}

Außerhalb einer kugelsymmetrischen Masse darfst du diese für die Gravitationswirkung so behandeln, als läge ihre ganze Masse im Mittelpunkt. Bei der Erde misst du r daher vom Erdmittelpunkt, nicht von der Oberfläche.

Die Kraft wächst proportional mit jeder Masse. Wird etwa m_1 verdoppelt, verdoppelt sich die Kraft; wird m_2 verdreifacht, verdreifacht sie sich. Vergrößerst du den Abstand um den Faktor k, wird die Kraft durch k^2 geteilt. Bei etwa 60 Erdradien Abstand ist die Kraft gegenüber dem Abstand von einem Erdradius etwa 1/3600 so groß.

Notiere beide Massen in Kilogramm und den Schwerpunktabstand in Metern. Setze die Werte in F_\mathrm G=Gm_1m_2/r^2 ein, quadriere zuerst den Abstand und gib den Kraftbetrag in Newton an. Prüfe, ob seine Größenordnung plausibel ist.

Die Gewichtskraft eines Körpers ist die Gravitationskraft, die ein Himmelskörper an einem bestimmten Ort auf ihn ausübt. Nahe der Erdoberfläche gilt näherungsweise:

F_\mathrm G=mg

Dabei ist g der Ortsfaktor oder die Fallbeschleunigung. Der Wert g\approx9{,}81\,\mathrm{m/s^2} ist ein Näherungswert nahe der Erdoberfläche. Für eine idealisierte kugelsymmetrische, nicht rotierende Erde mit Masse M_\mathrm E und einen Körper außerhalb der Erde gilt zugleich:

F_\mathrm G=G\frac{M_\mathrm E m}{r^2}

Daraus folgt für dieses Modell g=GM_\mathrm E/r^2. Die Masse des Körpers bleibt bei einem Ortswechsel gleich; seine Gewichtskraft kann sich mit r ändern.

Auf einer idealisierten Kreisbahn liefert die Gravitation die zum Zentrum gerichtete Radialkraft oder Zentripetalkraft. Dies ist eine Rolle der resultierenden Kraft, keine zusätzliche Kraftart. Ohne Gravitation würde sich ein bewegter Satellit tangential weiterbewegen; die genaue Umlaufbahn hängt auch von seiner Bewegung ab.