Physik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Kapazität eines Kondensators verstehen und berechnen
Kapazität verbindet Ladung und Spannung. Du berechnest Plattengeometrie, Feldstärke und gespeicherte Energie.
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Kurz gesagt
Die Kapazität C=Q/U ist der Ladungsbetrag pro Spannung. Beim idealen Plattenkondensator gilt näherungsweise C=\varepsilon_0\varepsilon_r A/d: Mehr Fläche oder ein stärker polarisierbares Dielektrikum erhöhen sie, größerer Abstand senkt sie. Ladung und Feldenergie hängen zusätzlich von der Spannung ab.
Die Kapazität C sagt, wie viel elektrische Ladung Q ein Kondensator bei einer bestimmten Spannung U speichert. Es gilt C = Q/U beziehungsweise Q = C · U: Bei gleicher Spannung speichert ein Kondensator mit größerer Kapazität mehr Ladung.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Kondensator besteht aus zwei elektrisch leitenden Flächen, die sich nicht berühren. Dazwischen liegt ein isolierender Stoff, das Dielektrikum. Das kann zum Beispiel Luft, Kunststoff oder Glas sein.
Beim Anschluss an eine Spannungsquelle fließen Elektronen von der einen Fläche ab und zur anderen hin. Dadurch tragen die Flächen gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen +Q und -Q. Zwischen ihnen entstehen ein elektrisches Feld und eine Spannung.
Der Ladevorgang endet im idealisierten Gleichstromfall, wenn die Kondensatorspannung so groß wie die Quellspannung ist. Nach dem Trennen von der Quelle können Ladung und Energie zunächst erhalten bleiben.
Definition
Kapazität
Die Kapazität C beschreibt das Verhältnis aus gespeichertem Ladungsbetrag Q und Spannung U: C = Q/U. Sie ist eine Eigenschaft der Leiteranordnung und des Dielektrikums.
Merke: Kapazität ist eine physikalische Größe. Der Kondensator ist das Bauteil, das durch diese Größe beschrieben wird.
Teste dich
Ladung, Kapazität und Spannung sind verknüpft:
Q=C\,U
Durch Umstellen erhältst du C=Q/U und U=Q/C. Die Einheit der Kapazität ist Farad. Dabei bedeutet \mathrm C als Einheit Coulomb; das Formelzeichen C steht für Kapazität:
1\,\mathrm F=1\,\frac{\mathrm C}{\mathrm V}
Kleinere Einheiten stehen jeweils in einem eigenen Verhältnis zu Farad:
1\,\mu\mathrm F=10^{-6}\,\mathrm F
1\,\mathrm{nF}=10^{-9}\,\mathrm F
1\,\mathrm{pF}=10^{-12}\,\mathrm F
Beispiel: Ladung bei gegebener Spannung
- 1Ein Kondensator hat C=220\,\mathrm{nF} und liegt an U=12\,\mathrm V. Zuerst wandelst du die Kapazität um:
- 2220\,\mathrm{nF}=220\cdot10^{-9}\,\mathrm F
- 3Dann setzt du in Q=C\,U ein:
- 4Q=220\cdot10^{-9}\,\mathrm F\cdot12\,\mathrm V
- 5Q=2{,}64\cdot10^{-6}\,\mathrm C
- 6Q\approx2{,}6\,\mu\mathrm C
- 7Auf zwei gültige Ziffern gerundet tragen die Elektroden die Ladungen +2{,}6\,\mu\mathrm C und -2{,}6\,\mu\mathrm C.
Teste dich
Für zwei große parallele Platten gilt bei kleinem Abstand gegenüber ihren Abmessungen näherungsweise:
C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d}
A ist die gegenüberliegende Plattenfläche, d ihr Abstand, \varepsilon_0 die Vakuumpermittivität und \varepsilon_r die relative Permittivität des Dielektrikums. Mehr Fläche oder größere relative Permittivität erhöhen die Kapazität. Ein größerer Abstand verringert sie.
Das Modell vernachlässigt Randfelder. Je kleiner der Abstand gegenüber den Plattenmaßen ist, desto besser passt es. Im näherungsweise homogenen Feld gilt für die elektrische Feldstärke E:
E=\frac{U}{d}
Beispiel
- 1Ein Plattenkondensator hat zunächst C_1 = 100\,\mathrm{pF} bei d_1 = 2\,\mathrm{mm}. Fläche und Dielektrikum bleiben gleich, der Abstand wird auf d_2 = 1\,\mathrm{mm} halbiert.
- 2Weil C umgekehrt proportional zu d ist, gilt:
- 3C_2=C_1\frac{d_1}{d_2}
- 4C_2=100\,\mathrm{pF}\cdot\frac{2\,\mathrm{mm}}{1\,\mathrm{mm}}
- 5C_2=200\,\mathrm{pF}
- 6Bei U = 500\,\mathrm V ist die Ladung:
- 7Q=200\cdot10^{-12}\,\mathrm F\cdot500\,\mathrm V
- 8Q=100\,\mathrm{nC}
- 9Mit d_2=1\,\mathrm{mm}=0{,}001\,\mathrm m ergibt sich die Feldstärke:
- 10E=\frac{500\,\mathrm V}{0{,}001\,\mathrm m}
- 11E=500\,000\,\mathrm{V/m}
- 12Ein kleinerer Abstand erhöht bei sonst gleichen Bedingungen die Kapazität. Bei festgehaltener Spannung steigen dadurch auch Ladung und Feldstärke.
Teste dich
Beim Laden verrichtet die Quelle Arbeit; diese Energie steckt im elektrischen Feld. Mit Kapazität C und Spannung U gilt:
W=\frac12 C U^2
Gleichwertig gilt W=Q^2/(2C). Die passende Form hängt von den gegebenen Größen ab.
Kapazität und zulässige Spannung sind verschiedene Kenngrößen. Bei zu hoher Spannung kann das Dielektrikum durchschlagen. Ein Kondensator kann auch nach dem Trennen von der Quelle geladen bleiben; Anschlüsse unbekannter oder größerer Kondensatoren gehören nicht in Schülerhände.
Beispiel
- 1Für den Plattenkondensator aus dem vorherigen Beispiel mit C = 200\,\mathrm{pF} und U = 500\,\mathrm V gilt:
- 2W=\frac12\cdot200\cdot10^{-12}\,\mathrm F\cdot(500\,\mathrm V)^2
- 3W=25\cdot10^{-6}\,\mathrm J
- 4W=25\,\mu\mathrm J
- 5Der Kondensator speichert 25\,\mu\mathrm J Feldenergie.
Merke: Verdoppelst du bei unveränderter Kapazität die Spannung, vervierfacht sich die Energie, weil U in W=\frac12 C U^2 quadriert wird.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kapazität eines Kondensators
Grundbeziehung
C=Q/U
Einheit
Farad
Plattenkondensator
C=\varepsilon_0\varepsilon_r A/d
Elektrisches Feld
E=U/d
Feldenergie
W=\frac12 C U^2
Grenze
zulässige Spannung beachten
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Plattenabstand und Feldgrößen
- 1Ein idealisierter Plattenkondensator hat C_1=80\,\mathrm{pF} bei d_1=4\,\mathrm{mm}. Fläche und Dielektrikum bleiben gleich; der Abstand sinkt auf d_2=2\,\mathrm{mm}. Die Spannung beträgt U=15\,\mathrm V.
- 2Wegen C\propto1/d gilt:
- 3C_2=80\,\mathrm{pF}\cdot\frac{4\,\mathrm{mm}}{2\,\mathrm{mm}}
- 4C_2=160\,\mathrm{pF}
- 5Der Ladungsbetrag ist:
- 6Q=160\cdot10^{-12}\,\mathrm F\cdot15\,\mathrm V
- 7Q=2{,}4\,\mathrm{nC}
- 8Mit d_2=0{,}002\,\mathrm m folgt:
- 9E=\frac{15\,\mathrm V}{0{,}002\,\mathrm m}
- 10E=7\,500\,\mathrm{V/m}
- 11Die Feldenergie ist:
- 12W=\frac12\cdot160\cdot10^{-12}\,\mathrm F\cdot(15\,\mathrm V)^2
- 13W=18\cdot10^{-9}\,\mathrm J
- 14W=18\,\mathrm{nJ}
Fehler finden
Geänderter Abstand In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Der Abstand steht im Nenner. Daher gilt C_2=60\,\mathrm{pF}\cdot\frac{3\,\mathrm{mm}}{6\,\mathrm{mm}}=30\,\mathrm{pF}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei einem idealen Kondensator mit festem Dielektrikum bleibt die trotz anderer Spannung gleich. Wird die Plattenfläche bei gleichem Abstand verdoppelt, dann sich die Kapazität. Bei fester Kapazität vervierfacht eine doppelte Spannung die .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback