Physik · Klasse 8–10 · aktualisiert
Drehmoment und Hebel einfach berechnen
Lerne, den senkrechten Hebelarm zu finden, Drehmomente zu berechnen und einen Hebel ins Gleichgewicht zu bringen.
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Kurz gesagt
Das Drehmoment beschreibt, wie stark eine Kraft um einen Drehpunkt dreht. Es ist Kraft mal senkrechter Abstand ihrer Wirkungslinie zum Drehpunkt. Bei zwei entgegengesetzten Drehwirkungen ist ein Hebel im Gleichgewicht, wenn beide Drehmomente gleich groß sind.
Ein Hebel dreht sich um einen Drehpunkt. Wie stark eine Kraft dreht, hängt von zwei Größen ab: von der Kraft und vom senkrechten Abstand ihrer Wirkungslinie zum Drehpunkt. Diese Drehwirkung heißt Drehmoment. Auf dieser Seite lernst du, den wirksamen Hebelarm zu erkennen, Drehmomente zu berechnen und Hebel ins Gleichgewicht zu bringen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, du löst eine Schraube mit einem Schraubenschlüssel. Drückst du weit außen am Griff, gelingt das leichter als nahe an der Schraube. Die Kraft kann gleich bleiben – der größere Abstand verstärkt ihre Drehwirkung.
Der Drehpunkt ist der Punkt, um den sich der Hebel drehen kann. Die Wirkungslinie ist die gedachte gerade Linie in Richtung der Kraft. Der wirksame Hebelarm a ist der senkrechte Abstand zwischen Drehpunkt und Wirkungslinie. Er ist nicht immer der Abstand bis zum Angriffspunkt der Kraft.
Verläuft die Wirkungslinie durch den Drehpunkt, ist a=0. Dann gilt M=0: Die Kraft kann drücken oder ziehen, erzeugt aber keine Drehwirkung um diesen Punkt.
Definition
Drehmoment
Das Drehmoment M beschreibt die Drehwirkung einer Kraft um einen gewählten Drehpunkt oder eine Drehachse. Für seinen Betrag gilt: M=F\cdot a Dabei ist F die Kraft in Newton und a der senkrechte Hebelarm in Metern. Die Einheit des Drehmoments ist Newtonmeter, kurz \mathrm{N\,m}.
Merke: Nur wenn die Kraft senkrecht zum Hebel wirkt, entspricht der Abstand zwischen Drehpunkt und Angriffspunkt dem wirksamen Hebelarm.
Beispiel
- 1Eine Kraft von 100\,\mathrm N wirkt senkrecht auf einen Schraubenschlüssel. Der Angriffspunkt liegt 30\,\mathrm{cm} von der Schraube entfernt.
- 2Zuerst wird der Abstand umgerechnet:
- 330\,\mathrm{cm}=0{,}30\,\mathrm m
- 4Dann wird das Drehmoment berechnet:
- 5M=100\,\mathrm N\cdot0{,}30\,\mathrm m=30\,\mathrm{N\,m}
- 6Die Kraft erzeugt ein Drehmoment von 30\,\mathrm{N\,m}.
Teste dich
Newtonmeter und Joule lassen sich zwar beide auf dieselben SI-Basiseinheiten zurückführen. Ein Drehmoment wird trotzdem in \mathrm{N\,m} und nicht in Joule angegeben, weil es eine Drehwirkung und keine Energie bezeichnet.
Beispiel
- 1Eine Schraube soll mit 38\,\mathrm{N\,m} angezogen werden. Ein 60\,\mathrm{cm} langer Schraubenschlüssel wird am Ende senkrecht belastet. Gesucht ist die nötige Kraft.
- 2Der wirksame Hebelarm beträgt:
- 3a=60\,\mathrm{cm}=0{,}60\,\mathrm m
- 4Die Formel wird nach F umgestellt:
- 5F=\frac{M}{a}
- 6F=\frac{38\,\mathrm{N\,m}}{0{,}60\,\mathrm m}\approx63\,\mathrm N
- 7Auf ganze Newton gerundet musst du senkrecht mit ungefähr 63\,\mathrm N drücken.
- 8Wirken stattdessen 150\,\mathrm N senkrecht am selben Schlüssel, entsteht:
- 9M=150\,\mathrm N\cdot0{,}60\,\mathrm m=90\,\mathrm{N\,m}
Beispiel: Gehe bei einer Rechnung in dieser Reihenfolge vor
- 1Lege den Drehpunkt fest.
- 2Zeichne oder denke dir die Wirkungslinie der Kraft.
- 3Bestimme den senkrechten Hebelarm.
- 4Rechne den Hebelarm in Meter um.
- 5Berechne M=F\cdot a.
- 6Ergänze die Einheit \mathrm{N\,m} und prüfe die Größenordnung.
Teste dich
Kräfte können einen Hebel in entgegengesetzte Richtungen drehen. Lege zum Beispiel den Uhrzeigersinn als positiv fest. Der Gegenuhrzeigersinn ist dann negativ. Behalte diese Vorzeichen bei. Im Momentengleichgewicht sind die Drehmomente im Uhrzeigersinn zusammen genauso groß wie die Drehmomente dagegen. Werden alle Momente mit ihrem Vorzeichen addiert, ergibt sich null.
Bei genau zwei entgegengesetzten Drehwirkungen folgt das Hebelgesetz:
F_1a_1=F_2a_2
Dabei sind F_1 und F_2 die Kräfte und a_1 und a_2 ihre senkrechten Hebelarme. Hier wird das Gewicht des Hebels vernachlässigt. Falls es berücksichtigt wird, zählt auch die Drehwirkung seines Gewichts.
Definition
Einseitiger und zweiseitiger Hebel
Bei einem einseitigen Hebel greifen die betrachteten Kräfte auf derselben Seite des Drehpunkts an. Beim zweiseitigen Hebel greifen sie auf verschiedenen Seiten an. Für beide Arten gilt dieselbe Bedingung: Im Gleichgewicht heben sich die Drehmomente auf.
Beispiel
- 1An einem waagerechten Hebel drücken links 50\,\mathrm N im Abstand von 0{,}30\,\mathrm m und rechts 20\,\mathrm N im Abstand von 0{,}50\,\mathrm m senkrecht nach unten.
- 2Die beiden Drehmomente sind:
- 3M_{\text{links}}=50\,\mathrm N\cdot0{,}30\,\mathrm m=15\,\mathrm{N\,m}
- 4M_{\text{rechts}}=20\,\mathrm N\cdot0{,}50\,\mathrm m=10\,\mathrm{N\,m}
- 5Links ist die Drehwirkung um 5\,\mathrm{N\,m} größer. Ein zusätzliches Gewicht mit 5\,\mathrm N muss deshalb rechts wirken. Für seinen Abstand a gilt:
- 65\,\mathrm N\cdot a=5\,\mathrm{N\,m}
- 7a=1\,\mathrm m
- 8Das Zusatzgewicht muss rechts im Abstand von 1\,\mathrm m angebracht werden.
Merke: Ein längerer Kraftarm bedeutet nicht automatisch Gleichgewicht. Vergleiche immer die Produkte aus Kraft und wirksamem Hebelarm.
Teste dich
Eine schräge Kraft wirkt nur teilweise quer zum Hebel. Für die Drehwirkung zählt ihr senkrechter Anteil. Du kannst auch den senkrechten Abstand ihrer Wirkungslinie zum Drehpunkt benutzen. Beide Wege liefern dasselbe Drehmoment.
Wirkt eine Kraft entlang des Hebels zum Drehpunkt, entsteht kein Drehmoment. Wirkt dieselbe Kraft senkrecht zum Hebel, ist ihre Drehwirkung am größten. Bei einem Winkel von 30^\circ zwischen Kraft und Hebel beträgt der senkrechte Kraftanteil die Hälfte der gesamten Kraft.
Ein häufiger Fehler ist, bei einer schrägen Kraft den Abstand zum Angriffspunkt als Hebelarm einzusetzen. Miss stattdessen senkrecht zur Wirkungslinie. Rechne Zentimeter vor dem Einsetzen in Meter um.
Beispiel
- 1Eine Kraft von 100\,\mathrm N greift 0{,}30\,\mathrm m vom Drehpunkt entfernt unter 30^\circ zum Hebel an.
- 2Bei 30^\circ wirkt die Hälfte der Kraft senkrecht zum Hebel: 50\,\mathrm N.
- 3Für das Drehmoment gilt M=50\,\mathrm N\cdot0{,}30\,\mathrm m.
- 4Das sind 15\,\mathrm{N\,m}.
- 5Bei senkrechter Kraft wären es 100\,\mathrm N\cdot0{,}30\,\mathrm m=30\,\mathrm{N\,m}.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Drehmoment und Hebel
Drehpunkt
Bezugspunkt der Drehung
Wirkungslinie
Gerade in Kraftrichtung
Hebelarm
senkrechter Abstand zur Wirkungslinie
Drehmoment
Kraft mal wirksamer Hebelarm
Drehsinn
Momenten einheitliche Vorzeichen geben
Gleichgewicht
Summe der Drehmomente ist null
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Musteraufgabe: Hebel im Gleichgewicht
- 1Ein waagerechter Hebel wird links mit 36\,\mathrm N im Abstand von 0{,}25\,\mathrm m senkrecht nach unten gedrückt. Rechts greift 0{,}60\,\mathrm m vom Drehpunkt entfernt eine Kraft senkrecht nach unten an. Das Gewicht des Hebels wird vernachlässigt.
- 2Links entsteht das Drehmoment M_L=36\,\mathrm N\cdot0{,}25\,\mathrm m=9{,}0\,\mathrm{N\,m}.
- 3Für Gleichgewicht muss rechts ein gleich großes Drehmoment in die Gegenrichtung wirken.
- 4Die rechte Kraft ist F_R=9{,}0\,\mathrm{N\,m}/0{,}60\,\mathrm m=15\,\mathrm N.
- 5Prüfung: 15\,\mathrm N\cdot0{,}60\,\mathrm m=9{,}0\,\mathrm{N\,m}. Die beiden Drehwirkungen heben sich auf.
Fehler finden
Fehler finden: Zug am Griff In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der Hebelarm zur ganzen schrägen Kraft ist bei 30^\circ nur halb so groß: a=0{,}25\,\mathrm m. Die letzte Zeile ist richtig, weil sie mit dem senkrechten Kraftanteil rechnet.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Das Drehmoment ist das Produkt aus und wirksamem . Der Hebelarm steht auf der Wirkungslinie. Verläuft diese durch den Drehpunkt, ist das Drehmoment null. Im Gleichgewicht ist die Summe aller Drehmomente null.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback