Mathematik · Klasse 9 · aktualisiert
Zentrische Streckung: Konstruktion und Faktor k
Bei der zentrischen Streckung vergrößerst oder verkleinerst du eine Figur von einem Zentrum aus. Du lernst Konstruktion, Koordinaten und den Faktor k.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine zentrische Streckung vergrößert oder verkleinert eine Figur von einem Streckungszentrum Z aus. Jeder Bildpunkt P' liegt auf der Geraden ZP, und es gilt |ZP'|=|k|\cdot|ZP|: Der Betrag von k bestimmt den Abstand, das Vorzeichen die Seite von Z. Längen ändern sich mit |k|, Flächen mit k^2.
Bei einer zentrischen Streckung vergrößerst oder verkleinerst du eine Figur von einem festen Punkt aus. Dieser Punkt heißt Streckungszentrum Z. Der Streckungsfaktor k bestimmt den Abstand und die Seite des Zentrums, auf der ein Bildpunkt liegt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Zu jedem Ausgangspunkt P gehört ein Bildpunkt P'. Das Zentrum Z, der Punkt P und sein Bildpunkt P' liegen auf einer Geraden. Der Betrag |k| bestimmt die Entfernung vom Zentrum, das Vorzeichen die Seite des Zentrums (Tabelle). Bei k=0 würden alle Punkte auf Z fallen. Diesen entarteten Fall zählt man nicht als zentrische Streckung, weil keine ähnliche Bildfigur mehr entsteht. So konstruierst du eine Bildfigur: Zeichne durch Z und jeden Eckpunkt eine Hilfsgerade. Multipliziere den Abstand jedes Eckpunkts von Z mit |k|. Trage den neuen Abstand ab: bei k>0 auf derselben, bei k<0 auf der gegenüberliegenden Seite von Z. Beschrifte die Bildpunkte mit Strichen, zum Beispiel A', B' und C', und verbinde sie in derselben Reihenfolge wie die Ausgangspunkte.
Definition
Zentrische Streckung
Für einen Streckfaktor k \ne 0 gilt die Punktregel \overrightarrow{ZP'}=k\cdot\overrightarrow{ZP}. Der Abstand des Bildpunkts vom Zentrum beträgt deshalb |ZP'|=|k|\cdot|ZP|.
| Faktor | Wirkung |
|---|---|
| k>0 | P' liegt auf derselben Seite von Z wie P |
| k<0 | P' liegt auf der gegenüberliegenden Seite von Z |
| |k|>1 | Die Figur wird vergrößert. |
| 0<|k|<1 | Die Figur wird verkleinert. |
| k=1 | Die Figur bleibt unverändert. |
| k=-1 | Punktspiegelung an Z, also eine Drehung um 180^\circ |
Beispiel: Bildpunkt C' für k=2
- 1|ZC|=6\,\text{cm} und k=2>0: gleiche Seite von Z
- 2|ZC'|=2\cdot 6\,\text{cm}=12\,\text{cm}
- 3C' auf der Geraden ZC in 12\,\text{cm} Entfernung von Z markieren
Teste dich
Sind Z=(z_x\mid z_y) und P=(x\mid y) bekannt, berechnest du den Bildpunkt mit P'=Z+k(P-Z). In Koordinaten bedeutet das: P'=(z_x+k(x-z_x)\mid z_y+k(y-z_y)). Der Rechenweg hat drei Schritte: vom Zentrum zum Punkt gehen, diesen Weg mit k multiplizieren und das Ergebnis wieder zum Zentrum addieren.
Beispiel: Bildpunkt von A=(2\mid 1) mit Z=(0\mid 2) und k=1{,}5
- 1A'=(0+1{,}5(2-0)\mid 2+1{,}5(1-2))
- 2A'=(3\mid 0{,}5)
- 3Kontrolle: k>0, also gleiche Seite von Z; |k|>1, also weiter von Z entfernt als A.
Teste dich
Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Die Bildfigur hat dieselbe Form wie die Ausgangsfigur: Entsprechende Winkel bleiben gleich, entsprechende Seiten sind parallel, und Längenverhältnisse bleiben erhalten. Alle Längen werden mit |k| multipliziert. Für Flächen und Volumen wirkt der Faktor in mehreren Richtungen gleichzeitig: Länge l'=|k|\cdot l, Fläche A'=k^2\cdot A, Volumen V'=|k|^3\cdot V.
Beispiel: Länge und Fläche umrechnen
- 1Seite a=4{,}25\,\text{cm}, k=0{,}5:
- 2a'=0{,}5\cdot4{,}25\,\text{cm}=2{,}125\,\text{cm}
- 3Bildfläche 50\,\text{cm}^2, k=5, also k^2=25:
- 4A=\frac{50\,\text{cm}^2}{25}=2\,\text{cm}^2
Merke: k – k^2 – k^3: Längen ändern sich mit |k|, Flächen mit k^2 und Volumen mit |k|^3.
Teste dich
Sind Ausgangsfigur und Bildfigur gegeben, kannst du die Streckung rückwärts untersuchen. Das Streckungszentrum finden: Verbinde einen Punkt mit seinem Bildpunkt, zum Beispiel A mit A'. Zeichne eine zweite Gerade durch ein anderes entsprechendes Punktpaar, etwa B und B'. Der Schnittpunkt dieser Geraden ist das Streckungszentrum Z. Eine dritte Verbindung, etwa CC', dient als Kontrolle: Auch sie muss durch Z verlaufen. Den Streckungsfaktor bestimmen: Aus entsprechenden Längen erhältst du den Betrag: |k|=\frac{|A'B'|}{|AB|}=\frac{|ZA'|}{|ZA|} Das Vorzeichen liest du an der Lage ab: Liegen Punkt und Bildpunkt auf derselben Seite von Z, ist k>0, sonst k<0.
Beispiel: Faktor aus zwei Seitenlängen
- 1Ausgangsseite 5\,\text{cm}, Bildseite 15\,\text{cm}
- 2|k|=\frac{15\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}=3
- 3Gleiche Seite von Z: k=3. Gegenüberliegende Seiten: k=-3.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Zentrische Streckung
Punktregel
Z, P und P' liegen auf einer Geraden; der Abstand wird mit |k| multipliziert
Streckungsfaktor
Vorzeichen bestimmt die Seite, Betrag die Vergrößerung oder Verkleinerung
Ähnliche Figuren
Winkel bleiben gleich und entsprechende Seiten parallel
Größenänderung
Länge mit |k|, Fläche mit k^2, Volumen mit |k|^3
Rückwärts bestimmen
Zentrum durch Geradenschnitt, Faktor durch Längenquotient und Lage
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Bildpunkt bei negativem Faktor
- 1Gegeben: Z=(2\mid 3), P=(4\mid 4), k=-2
- 2Weg vom Zentrum: P-Z=(4-2\mid 4-3)=(2\mid 1)
- 3Beide Koordinaten mal k: (-2\cdot 2\mid -2\cdot 1)=(-4\mid -2)
- 4Zum Zentrum addieren: P'=(2-4\mid 3-2)=(-2\mid 1)
- 5Kontrolle: k<0, also liegt P' auf der anderen Seite von Z, doppelt so weit entfernt.
Fehler finden
Bildpunkt von P=(5\mid 3) mit Z=(1\mid 1) und k=3 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Gestreckt wird vom Zentrum aus, nicht vom Ursprung: P-Z=(4\mid 2), mal 3 ergibt (12\mid 6), plus Z ergibt P'=(13\mid 7).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein Punkt P liegt 4\,\text{cm} vom Zentrum entfernt, und es gilt k=-1{,}5. Z, P und P' liegen auf einer . Du trägst P' auf der Seite von Z im Abstand von ab.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback