Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Ähnlichkeit: Figuren erkennen und berechnen
Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, aber oft eine andere Größe. Du lernst, sie zu erkennen und mit dem Ähnlichkeitsfaktor Seiten und Flächen zu berechnen.
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Kurz gesagt
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben: Entsprechende Winkel sind gleich groß und alle entsprechenden Seiten werden mit demselben Faktor k verändert. Es gilt k = \frac{\text{Bildlänge}}{\text{Originallänge}}. Flächen ändern sich dabei mit k^2, Volumen mit k^3.
Du ziehst ein Foto auf dem Handy größer, und es wird nicht verzerrt: Breite und Höhe wachsen im gleichen Verhältnis. Genau das ist geometrische Ähnlichkeit. Hier lernst du, ähnliche Figuren zu erkennen, den Ähnlichkeitsfaktor zu bestimmen und damit fehlende Seiten, Flächen und Volumen zu berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
„Sieht ungefähr gleich aus“ reicht nicht. Bei ähnlichen Figuren gelten die Bedingungen für alle entsprechenden Teile: Gleich liegende Winkel haben dieselbe Größe, und jede Bildseite entsteht aus der passenden Originalseite mit demselben Faktor. Verschieben, Drehen oder Spiegeln ändert die Ähnlichkeit nicht. Bei Dreiecken reicht es, wenn alle drei Seitenverhältnisse gleich sind.
Definition
Ähnliche Figuren
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn ihre Form übereinstimmt. Dabei sind entsprechende Winkel gleich groß, und entsprechende Seiten stehen alle im gleichen Verhältnis.
Beispiel: Dreiecke mit 4 cm, 5 cm, 6 cm und 6 cm, 7,5 cm, 9 cm vergleichen
- 1\frac{6}{4} = 1{,}5
- 2\frac{7{,}5}{5} = 1{,}5
- 3\frac{9}{6} = 1{,}5
- 4Alle Seiten wurden mit 1,5 multipliziert. Die drei Seitenverhältnisse sind gleich, also sind die Dreiecke ähnlich.
Teste dich
Bevor du ein Verhältnis bildest, suchst du die entsprechenden Seiten. Das sind Seiten, die in beiden Figuren dieselbe Rolle haben. Ordne zuerst gleiche Winkel einander zu und achte auf die Reihenfolge der Eckpunkte: \triangle ABC \sim \triangle DEF heißt, A gehört zu D, B zu E und C zu F. Dann gilt für alle Seiten \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k. Ist k > 1, ist das Bild vergrößert. Bei 0 < k < 1 ist es verkleinert, bei k = 1 gleich groß.
Definition
Ähnlichkeitsfaktor
Der Ähnlichkeitsfaktor oder Streckfaktor k sagt, mit welcher Zahl jede Länge vom Original zum Bild multipliziert wird: k = \frac{\text{Bildlänge}}{\text{Originallänge}}. Es gilt immer k > 0.
Beispiel: Originalseite 5 cm, Bildseite 3,5 cm
- 1k = \frac{3{,}5\,\mathrm{cm}}{5\,\mathrm{cm}} = 0{,}7
- 2Die Einheit kürzt sich im Verhältnis weg.
- 3Weil 0 < 0{,}7 < 1 gilt, ist das Bild verkleinert.
- 4Jede Bildlänge beträgt 70 % der Originallänge.
Merke: Vergleiche Seiten nie nur deshalb, weil sie auf dem Blatt ähnlich liegen. Entscheidend ist ihre Rolle in der Figur. Schreib alle Verhältnisse in derselben Richtung: Bild durch Original.
Teste dich
Kennst du k, berechnest du jede Bildlänge mit derselben Multiplikation: x' = x \cdot k. Suchst du umgekehrt die Originallänge, teilst du durch k: x = \frac{x'}{k}. Du kannst auch Verhältnisse innerhalb jeder Figur vergleichen. Gehören a zu a' und b zu b', dann gilt \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}. Zum Beispiel ist 2{,}5 : 1 = 7{,}5 : 3 = 2{,}5: Beide Seitenpaare haben in ihrer Figur dasselbe Verhältnis.
Beispiel: Dreieck mit a = 10{,}2 cm, b = 11{,}5 cm und c = 9 cm mit k = 2{,}5 vergrößern
- 1a' = 10{,}2\,\mathrm{cm} \cdot 2{,}5 = 25{,}5\,\mathrm{cm}
- 2b' = 11{,}5\,\mathrm{cm} \cdot 2{,}5 = 28{,}75\,\mathrm{cm}
- 3c' = 9\,\mathrm{cm} \cdot 2{,}5 = 22{,}5\,\mathrm{cm}
- 4Alle drei Seiten werden mit demselben Faktor vergrößert.
Merke: Vom Original zum Bild multiplizierst du mit k. Vom Bild zurück zum Original teilst du durch k.
Teste dich
Ähnlichkeit erhält die Form, aber nicht unbedingt die Größe. Entsprechende Winkel bleiben gleich, Lage, Orientierung und Größe dürfen sich ändern. Eine zentrische Streckung erzeugt eine ähnliche Bildfigur: Von einem Streckzentrum aus werden alle Abstände mit demselben Faktor k vervielfacht. Für Dreiecke gibt es eine Abkürzung: Stimmen zwei Winkel überein, dann auch der dritte, und die Dreiecke sind ähnlich. Der Faktor k gilt für Längen. Eine Fläche wird in zwei Richtungen gestreckt, ein Körper in drei.
Definition
Kongruenz
Kongruente Figuren haben dieselbe Form und dieselbe Größe. Kongruenz ist der Sonderfall der Ähnlichkeit mit k = 1. Jede kongruente Figur ist also auch ähnlich, aber ähnliche Figuren müssen nicht kongruent sein.
| Größe | Faktor | bei k = 2 | bei k = 0{,}5 |
|---|---|---|---|
| Länge | k | 2 | 0,5 |
| Flächeninhalt | k^2 | 4 | 0,25 (ein Viertel) |
| Volumen | k^3 | 8 | 0,125 (ein Achtel) |
Merke: Doppelte Länge heißt nicht doppelte Fläche: Bei k = 2 ist der Flächenfaktor 2^2 = 4 und der Volumenfaktor 2^3 = 8.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Ähnliche Figuren
Erkennen
gleiche Form, gleiche entsprechende Winkel
Zuordnen
passende Eckpunkte und Seiten finden
Faktor
k = \frac{\text{Bildlänge}}{\text{Originallänge}}
Seiten
mal k zum Bild, durch k zurück
Fläche und Volumen
Faktor k^2 und k^3
Kongruenz
Sonderfall mit k = 1
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein Foto im Format 10 cm × 15 cm wird ohne Verzerren auf 25 cm Breite vergrößert. Wie hoch wird es, und wie viel Fläche braucht es?
- 1Streckfaktor: k = \frac{25}{10} = 2{,}5
- 2Neue Höhe: 15\,\mathrm{cm} \cdot 2{,}5 = 37{,}5\,\mathrm{cm}
- 3Fläche vorher: 10 \cdot 15 = 150\,\mathrm{cm}^2
- 4Flächenfaktor: k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25
- 5Fläche nachher: 150\,\mathrm{cm}^2 \cdot 6{,}25 = 937{,}5\,\mathrm{cm}^2
- 6Probe: 25\,\mathrm{cm} \cdot 37{,}5\,\mathrm{cm} = 937{,}5\,\mathrm{cm}^2
- 7Antwort: Das Foto wird 37,5 cm hoch und braucht 937,5 cm² Fläche, 6,25-mal so viel wie vorher.
Fehler finden
Ein Quadrat mit 4 cm Seitenlänge wird mit k = 3 vergrößert. Wie groß ist die neue Fläche? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Fläche wächst mit k^2 = 9, nicht mit k. Richtig ist A' = 16\,\mathrm{cm}^2 \cdot 9 = 144\,\mathrm{cm}^2. Probe: Die neue Seite ist 4 \cdot 3 = 12 cm lang, und 12 \cdot 12 = 144.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ähnliche Figuren haben . Den Faktor k berechnest du als Bildlänge Originallänge. Der Flächeninhalt ändert sich dabei mit dem Faktor .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback