Satz von Vieta: Nullstellen finden und prüfen

Der Satz von Vieta bezieht sich auf die Normalform x^2+px+q=0. Dabei ist p der Koeffizient vor x und q die Zahl ohne x. Vor x^2 muss der Faktor 1 stehen, und auf der rechten Seite muss 0 stehen. Achte besonders auf das Minuszeichen: Die gesuchte Summe ist nicht p, sondern -p. Das Vorzeichen von q übernimmst du dagegen unverändert.

Nicht jede Gleichung steht sofort in Normalform. Gehe dann in dieser Reihenfolge vor: 1. Bringe alle Terme auf eine Seite, sodass rechts 0 steht. 2. Ordne die Terme nach fallenden Potenzen von x. 3. Teile die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten vor x^2, falls dieser nicht 1 ist. 4. Lies erst danach p und q ab.

Beim Probieren beginnst du am besten mit dem Produkt q. Dafür gibt es bei ganzen Zahlen meist nur wenige Faktorpaare. 1. Notiere p, q und die gesuchte Summe -p. 2. Bilde Zahlenpaare mit dem Produkt q. 3. Berechne die Summe jedes Paares. 4. Wähle nur ein Paar, das Produkt und Summe erfüllt. 5. Prüfe dein Ergebnis mit beiden Bedingungen. Das Vorzeichen von q hilft: Ist q positiv, haben die Lösungen dasselbe Vorzeichen. Ist q negativ, haben sie verschiedene Vorzeichen. Die Summenkontrolle ersetzt das nicht. Beispiel x^2-8x+12=0: Gesucht sind Zahlen mit Summe 8 und Produkt 12. Die Lösungen sind x_1=2 und x_2=6.

Mit Vieta kannst du auch ein Zahlenpaar prüfen. Bei x^2+x-12=0 sind p=1 und q=-12. Für 3 und -4 gilt 3+(-4)=-1=-p und 3\cdot(-4)=-12=q. Also sind 3 und -4 Lösungen. Umgekehrt bildest du aus zwei Lösungen eine Gleichung mit p=-(x_1+x_2) und q=x_1x_2. Warum das funktioniert: Eine normierte Gleichung mit den Lösungen x_1 und x_2 lässt sich als (x-x_1)(x-x_2) schreiben. Ausmultipliziert ist das x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2. Der Koeffizientenvergleich mit x^2+px+q liefert genau die beiden Vieta-Beziehungen. Auch eine doppelte Lösung ist möglich: Bei x^2+14x+49=0 erfüllt zweimal -7 beide Beziehungen, denn (-7)+(-7)=-14 und (-7)\cdot(-7)=49. Findest du kein ganzzahliges Paar, kann die Gleichung trotzdem nicht ganzzahlige oder keine reellen Lösungen haben. Dann brauchst du ein anderes Verfahren, etwa die pq-Formel.