Strahlensätze: Regeln, Beispiele und Aufgaben

In der ersten Grundfigur beginnen zwei Strahlen im Scheitelpunkt S. Auf dem ersten liegen nacheinander A und C, auf dem zweiten B und D. Die Verbindungsstrecken sind parallel: \overline{AB}\parallel\overline{CD} Dann ist das äußere Dreieck SCD eine Vergrößerung des inneren Dreiecks SAB. Entsprechende Strecken haben deshalb denselben Vergrößerungsfaktor. Die Parallelen dürfen auch auf verschiedenen Seiten von S liegen. Dann bilden die beiden sich schneidenden Geraden eine X-Figur. Die gleichen Verhältnisgleichungen für Streckenlängen gelten, wenn du A und C, B und D sowie \overline{AB} und \overline{CD} einander richtig zuordnest. Die Bezeichnungen „innen“ und „außen“ passen bei dieser Grundfigur nicht.

Der erste Strahlensatz vergleicht entsprechende Abschnitte auf den beiden Strahlen: \frac{\overline{SA}}{\overline{SC}}=\frac{\overline{SB}}{\overline{SD}} In der Grundfigur mit beiden Parallelen auf derselben Seite reichen \overline{SA} und \overline{SB} bis zur inneren Parallelen. \overline{SC} und \overline{SD} reichen bis zur äußeren.

Der zweite Strahlensatz verbindet Strahlenstrecken mit den parallelen Verbindungsstrecken: \frac{\overline{SA}}{\overline{SC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}} Die zu A führende Strecke gehört zur Parallelen durch A und B. Die zu C führende Strecke gehört zur Parallelen durch C und D.

Markiere Scheitelpunkt und Parallelen. Notiere gegebene und gesuchte Längen. Wähle den Satz: Nur Strecken auf den Strahlen bedeuten erster Satz; eine parallele Verbindungsstrecke bedeutet zweiter Satz. Ordne entsprechende Punkte und Strecken in derselben Reihenfolge zu. Bilde nötige Gesamtstrecken aus den Teilstrecken. Löse die Gleichung und prüfe Einheit sowie Größenordnung. Liegt ein äußerer Punkt nach einem 3\,\mathrm{cm} langen Anfangsabschnitt und einem weiteren 3\,\mathrm{cm} langen Teilstück, beträgt die Gesamtstrecke vom Scheitel 6\,\mathrm{cm}. Setze nicht nur das äußere Teilstück ein. Beim Kehrsatz gehst du rückwärts vor: Sind die erforderlichen Verhältnisse entsprechender Strecken gleich, kannst du bei passender Punktanordnung auf Parallelität schließen. Das gilt für die Verhältnisse des ersten Strahlensatzes, also für Abschnitte auf den Strahlen. Aus gleichen Verhältnissen mit den Parallelstrecken \overline{AB} und \overline{CD} allein folgt keine Parallelität.