Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens erklärt
Mit Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens berechnest du aus einem Seitenverhältnis den Winkel. Du lernst, die passende Funktion zu wählen.
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Kurz gesagt
Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens sind die Umkehrfunktionen von Sinus, Kosinus und Tangens: Aus einem Verhältnis berechnen sie einen Winkel. Aus \sin(\alpha) = 0{,}5 folgt zum Beispiel \alpha = \arcsin(0{,}5) = 30^\circ. Sie liefern immer nur einen Hauptwert.
Eine Leiter lehnt an der Wand. Du kennst ihre Länge und weißt, wie hoch sie reicht. Aber wie steil steht sie? Mit Sinus, Kosinus und Tangens rechnest du vom Winkel zum Seitenverhältnis. Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens gehen den umgekehrten Weg: vom Verhältnis zum Winkel. Hier lernst du, die passende Funktion zu wählen, Winkel zu berechnen und typische Taschenrechnerfehler zu vermeiden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Winkelfunktion nimmt einen Winkel und liefert ein Verhältnis. Eine Arkusfunktion geht in die Gegenrichtung: Du gibst ein Verhältnis ein und erhältst einen Winkel. Vom Winkel zum Verhältnis kommst du mit \sin, \cos oder \tan, vom Verhältnis zum Winkel mit \arcsin, \arccos oder \arctan.
Definition
Arkusfunktion
Eine Arkusfunktion ist die Umkehrfunktion einer passend eingeschränkten trigonometrischen Funktion. Die Einschränkung ist nötig, weil Sinus, Kosinus und Tangens periodisch sind: Derselbe Funktionswert gehört zu mehreren Winkeln.
Beispiel: Hin und zurück
- 1\sin(30^\circ) = 0{,}5 bedeutet: Der Winkel 30° hat den Sinuswert 0,5.
- 2\arcsin(0{,}5) = 30^\circ bedeutet: Der Hauptwinkel zum Sinuswert 0,5 ist 30°.
- 3Genauso: \cos(60^\circ) = 0{,}5 und \arccos(0{,}5) = 60^\circ.
- 4Und: \tan(45^\circ) = 1 und \arctan(1) = 45^\circ.
Merke: Ist der Winkel gesucht, nimmst du eine Arkusfunktion. Ist ein Seitenverhältnis gesucht, nimmst du Sinus, Kosinus oder Tangens.
Teste dich
Beziehe die Seitennamen immer auf den gesuchten Winkel \alpha im rechtwinkligen Dreieck. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Gegenkathete liegt \alpha gegenüber. Die Ankathete liegt an \alpha an und ist nicht die Hypotenuse. Welche zwei Seiten du kennst, entscheidet über die Funktion: \sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}, \cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} und \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.
| Bekannte Seiten | Verhältnis | Winkel mit |
|---|---|---|
| Gegenkathete und Hypotenuse | Sinus | Arkussinus |
| Ankathete und Hypotenuse | Kosinus | Arkuskosinus |
| Gegenkathete und Ankathete | Tangens | Arkustangens |
Beispiel: Winkel aus Gegenkathete und Hypotenuse
- 1Gegenkathete zu \alpha: 5 cm, Hypotenuse: 10 cm. Dazu passt der Sinus.
- 2\sin(\alpha) = \frac{5\,\text{cm}}{10\,\text{cm}} = 0{,}5
- 3\alpha = \arcsin(0{,}5) = 30^\circ
- 4Die Einheiten kürzen sich. 30° ist als spitzer Winkel im rechtwinkligen Dreieck plausibel.
Teste dich
Sinus, Kosinus und Tangens sind periodisch: Ihre Werte wiederholen sich immer wieder. Außerdem hat der Sinus schon zwischen 0° und 180° viele Werte doppelt, zum Beispiel \sin(30^\circ) = 0{,}5 und \sin(150^\circ) = 0{,}5. Verschiedene Winkel haben also denselben Funktionswert. Eine Umkehrfunktion darf jedem Eingabewert aber nur einen Winkel zuordnen. Darum hat jede Arkusfunktion einen festen Hauptwertbereich. Arkussinus und Arkuskosinus vertragen im Reellen nur Eingaben von −1 bis 1, denn Sinus und Kosinus nehmen keine anderen Werte an. Für -1 \le x \le 1 gilt sicher \sin(\arcsin(x)) = x. Umgekehrt gilt \arcsin(\sin(\alpha)) = \alpha nur für -90^\circ \le \alpha \le 90^\circ. Entsprechende Grenzen gelten für Arkuskosinus und Arkustangens.
| Funktion | Erlaubte Eingabe | Hauptwert in Grad | Hauptwert im Bogenmaß |
|---|---|---|---|
| \arcsin(x) | -1 \le x \le 1 | -90^\circ \le \alpha \le 90^\circ | [-\frac{\pi}{2};\, \frac{\pi}{2}] |
| \arccos(x) | -1 \le x \le 1 | 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ | [0;\, \pi] |
| \arctan(x) | alle reellen Zahlen | -90^\circ < \alpha < 90^\circ | (-\frac{\pi}{2};\, \frac{\pi}{2}) |
Beispiel: Vom Sinuswert von 150° zurück zum Winkel
- 1\sin(150^\circ) = 0{,}5
- 2\arcsin(0{,}5) = 30^\circ, nicht 150°
- 3Der Arkussinus liefert den Winkel aus seinem Hauptwertbereich von −90° bis 90°. Weitere Winkel mit demselben Sinuswert musst du selbst ergänzen.
Merke: Eine Arkusfunktion liefert genau einen Hauptwert. Bei einer trigonometrischen Gleichung ist das nicht automatisch die ganze Lösungsmenge.
Teste dich
Prüfe vor dem Rechnen drei Punkte. Richtung: Ist ein Winkel gesucht, brauchst du die Arkusfunktion. Winkelmaß: Für Ergebnisse in Grad muss der Rechner auf DEG stehen, im Modus RAD erhältst du das Bogenmaß. Eingabe: Setze das ganze Seitenverhältnis in Klammern. Auf vielen Rechnern heißen die Arkustasten \sin^{-1}, \cos^{-1} und \tan^{-1}. Hier bedeutet die Schreibweise die Umkehrfunktion.
Merke: \sin^{-1}(x) auf der Taste meint \arcsin(x) und nicht den Kehrwert \frac{1}{\sin(x)}.
Beispiel: Seltsame Anzeigen richtig deuten
- 1Anzeige bei \arcsin(0{,}5): etwa 0,524
- 2Kein Rechenfehler: Der Rechner steht auf RAD. 0,524 ist ungefähr \frac{\pi}{6}, und das entspricht 30°.
- 3Fehlermeldung bei \arcsin(1{,}2): berechtigt, weil 1,2 außerhalb von −1 bis 1 liegt.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens
Richtung
Arkusfunktion macht aus einem Verhältnis einen Winkel
Arkussinus
Gegenkathete durch Hypotenuse
Arkuskosinus
Ankathete durch Hypotenuse
Arkustangens
Gegenkathete durch Ankathete
Hauptwert
nur ein Winkel, weitere selbst ergänzen
Taschenrechner
DEG für Grad, \sin^{-1} ist kein Kehrwert
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie steil steht die Leiter?
- 1Eine 5 m lange Leiter reicht an einer Wand 4 m hoch. Gesucht ist der Winkel \alpha zwischen Leiter und Boden.
- 2Zu \alpha ist die Höhe an der Wand die Gegenkathete (4 m), die Leiter die Hypotenuse (5 m).
- 3Passende Funktion: Sinus, denn \sin(\alpha) = \frac{4}{5} = 0{,}8
- 4Winkel: \alpha = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}1^\circ
- 5Probe: \sin(53{,}1^\circ) \approx 0{,}8. Die Leiter steht etwa 53° steil.
Fehler finden
Winkel aus Ankathete 3 cm und Hypotenuse 6 cm In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Ankathete durch Hypotenuse gehört zum Kosinus, nicht zum Sinus. Richtig ist \alpha = \arccos(0{,}5) = 60^\circ.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ist ein Winkel gesucht, nimmst du eine . Kennst du Gegenkathete und Ankathete, hilft der . Die Taste \sin^{-1} meint .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback