Mathematik · Klasse 5 · aktualisiert
Zahlensysteme: Binär, Dezimal und Hexadezimal
Dezimal, binär, hexadezimal: Du lernst, wie Basis und Stellenwerte zusammenhängen und wie du Zahlen zwischen den Systemen umrechnest.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Dezimal-, Binär- und Hexadezimalsystem sind Stellenwertsysteme: Jede Stelle steht für eine Potenz der Basis 10, 2 oder 16. So gilt 101110_2 = 32 + 8 + 4 + 2 = 46_{10}. In die andere Richtung teilst du wiederholt durch die Basis und liest die Reste von unten nach oben.
In einem Stellenwertsystem legen die Basis und die erlaubten Ziffern fest, welchen Wert jede Stelle hat. Im Dezimalsystem wachsen die Stellenwerte mit Zehnerpotenzen, im Binärsystem mit Zweierpotenzen und im Hexadezimalsystem mit Sechzehnerpotenzen. Hier lernst du, diese Systeme zu unterscheiden und nichtnegative ganze Zahlen zwischen ihnen umzurechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Schreibweise einer Zahl allein reicht nicht immer aus. Zum Beispiel bedeutet 10 im Dezimalsystem zehn, im Binärsystem aber zwei. Deshalb kennzeichnet ein tiefgestellter Index die Basis: 10_2 ist eine Binärzahl, 10_{10} eine Dezimalzahl. Für eine Zahl (z_n\ldots z_0)_b gilt: (z_n\ldots z_0)_b=z_n\cdot b^n+\ldots+z_1\cdot b^1+z_0\cdot b^0
Definition
Stellenwertsystem
In einem Stellenwertsystem hängt der Beitrag einer Ziffer von ihrer Position ab. Von rechts nach links stehen die Stellen für b^0, b^1, b^2, \ldots. Dabei ist b die Basis des Systems.
Beispiel: 123_{10} zerlegen
- 1123_{10}=1\cdot10^2+2\cdot10^1+3\cdot10^0=100+20+3
- 2Die Ziffer 2 trägt an dieser Stelle 2\cdot10=20 bei, nicht 2.
Merke: Ziffernwert und Stellenwert gehören zusammen: Erst Ziffer mal Stellenwert ergibt den Beitrag einer Stelle.
Teste dich
Das Binärsystem, auch Dual- oder Zweiersystem, hat die Basis 2. Es verwendet nur die Ziffern 0 und 1. Seine Stellenwerte sind von rechts nach links 2^0,2^1,2^2,\ldots, also 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter. Binär nach Dezimal: Multipliziere jede Ziffer mit ihrer Zweierpotenz und addiere die Beiträge. Dezimal nach Binär: Teile die Dezimalzahl wiederholt ganzzahlig durch 2. Notiere bei jedem Schritt den Rest 0 oder 1. Sobald der Quotient 0 ist, liest du die Reste von unten nach oben. Wie du mit Binärzahlen addierst, zeigt die Erklärung zum Binärsystem.
Beispiel: 101110_2 ins Dezimalsystem
- 1101110_2=1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+0\cdot2^0
- 2=32+0+8+4+2+0=46_{10}
- 3Die Nullen halten die unbesetzten Stellen frei.
Beispiel: 59_{10} ins Binärsystem
- 159:2=29 Rest 1
- 229:2=14 Rest 1
- 314:2=7 Rest 0
- 47:2=3 Rest 1
- 53:2=1 Rest 1
- 61:2=0 Rest 1
- 7Reste von unten nach oben: 111011_2
- 8Probe: 32+16+8+0+2+1=59
Teste dich
Das Hexadezimalsystem hat die Basis 16. Es braucht 16 Ziffern: 0 bis 9 sowie A, B, C, D, E und F. Dabei stehen A bis F für die Dezimalwerte 10 bis 15. Seine Stellenwerte sind 16^0,16^1,16^2,\ldots, also 1, 16, 256, 4096 und so weiter. Hexadezimal nach Dezimal: Ersetze A bis F durch 10 bis 15, multipliziere jede Ziffer mit ihrer Sechzehnerpotenz und addiere. Dezimal nach Hexadezimal: Teile wiederholt durch 16, notiere die Reste und lies sie von unten nach oben. Ersetze die Reste 10 bis 15 durch A bis F.
Beispiel: 5D6A_{16} ins Dezimalsystem, mit D=13 und A=10
- 15D6A_{16}=5\cdot16^3+13\cdot16^2+6\cdot16^1+10\cdot16^0
- 2=20480+3328+96+10=23914_{10}
Beispiel: 98236_{10} ins Hexadezimalsystem
- 198236:16=6139 Rest 12, also C
- 26139:16=383 Rest 11, also B
- 3383:16=23 Rest 15, also F
- 423:16=1 Rest 7
- 51:16=0 Rest 1
- 6Von unten nach oben: 17FBC_{16}
- 7Probe: 65536+28672+3840+176+12=98236
Teste dich
Weil 16=2^4 gilt, entspricht eine Hexadezimalziffer genau vier Binärziffern, also vier Bits. Teile eine Binärzahl deshalb von rechts in Vierergruppen. Die linke Gruppe darfst du bei Bedarf mit Nullen auffüllen. Davon zu unterscheiden ist der BCD-Code. Zum Beispiel wird 19_{10} im BCD-Code zu 0001\ 1001: Die Dezimalziffer 1 wird als 0001 und die Dezimalziffer 9 als 1001 codiert. Im gewöhnlichen Binärsystem ist 19_{10} dagegen 10011_2. Auch römische Zahlen sind kein Stellenwertsystem. Bei ihnen werden Zeichenwerte addiert oder in bestimmten Fällen subtrahiert; der Wert entsteht nicht aus Potenzen einer Basis.
Beispiel: 1000\ 0110_2 ins Hexadezimalsystem
- 11000_2=8
- 20110_2=6
- 3Zusammen ergibt das 86_{16}.
- 4Umgekehrt ersetzt du jede Hexadezimalziffer durch genau vier Bits.
Definition
BCD
BCD bedeutet Binary Coded Decimal. Dabei wird jede Dezimalziffer einzeln durch vier Bits codiert. BCD ist kein eigenes Zahlensystem.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Zahlensysteme
Stellenwertsysteme
Wert entsteht aus Ziffer und Position
Dezimalsystem
Basis 10
Binärsystem
Basis 2
Hexadezimalsystem
Basis 16
Binär und Hexadezimal
vier Bits entsprechen einer Hexadezimalziffer
Abgrenzung
BCD ist ein ziffernweiser Code, römische Zahlen sind kein Stellenwertsystem
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
75_{10} ins Hexadezimal- und Binärsystem
- 175:16=4 Rest 11, also B
- 24:16=0 Rest 4
- 3Reste von unten nach oben: 75_{10}=4B_{16}
- 4Jede Hexadezimalziffer wird zu vier Bits: 4 wird 0100, B wird 1011
- 5Zusammen: 0100\ 1011_2, ohne führende Null 1001011_2
- 6Probe: 64+8+2+1=75
Fehler finden
110101_2 ins Hexadezimalsystem umrechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Vierergruppen werden von rechts gebildet, die linke Gruppe füllst du mit Nullen auf: 0011\ 0101_2. Das ergibt 3 und 5, also 35_{16}. Probe: 3\cdot16+5=53, dagegen wäre D1_{16}=13\cdot16+1=209.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Das Binärsystem hat die Basis und nur die Ziffern 0 und 1. Im Hexadezimalsystem steht F für . Eine Hexadezimalziffer entspricht genau Bits.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback