Mathematik · Klasse 5–6 · aktualisiert
Achsenspiegelung einfach erklärt und konstruiert
Eine Achsenspiegelung erzeugt ein deckungsgleiches Spiegelbild. Du lernst, Punkte und Figuren mit dem Geodreieck zu spiegeln und zu prüfen.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Achsenspiegelung spiegelt jeden Punkt an einer Geraden, der Spiegelachse. Urpunkt P und Bildpunkt P' liegen auf verschiedenen Seiten gleich weit von der Achse entfernt, und ihre Verbindung steht senkrecht auf ihr. Punkte auf der Achse bleiben an ihrem Platz.
Faltest du ein Blatt mit einem frischen Farbklecks zusammen, entsteht auf der anderen Hälfte sein Spiegelbild. Genau das macht eine Achsenspiegelung: Sie erzeugt ein deckungsgleiches Bild an einer Geraden, der Spiegelachse. Hier lernst du, Spiegelbilder zu erkennen, mit dem Geodreieck zu konstruieren und deine Konstruktion zu prüfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Ausgangsfigur heißt Urfigur, die gespiegelte Figur Bildfigur. Zu jedem Urpunkt gehört genau ein Bildpunkt: Aus P wird P', aus dem Dreieck ABC wird A'B'C'. Für einen Urpunkt außerhalb der Achse gelten zwei Bedingungen. Erstens liegen Urpunkt und Bildpunkt auf verschiedenen Seiten und haben denselben senkrechten Abstand zur Achse. Zweitens steht ihre Verbindungsstrecke senkrecht auf der Achse, also im Winkel von 90°, und die Achse halbiert sie. Beim Spiegeln bleiben Längen und Winkel gleich. Nur der Umlaufsinn (auch Orientierungssinn) kehrt sich um: Läufst du im Dreieck von A über B nach C gegen den Uhrzeigersinn, läufst du im Bild von A' über B' nach C' im Uhrzeigersinn.
Definition
Achsenspiegelung
Bei einer Achsenspiegelung wird jeder Punkt einer Figur an einer Geraden gespiegelt, der Spiegelachse. Urfigur und Bildfigur sind deckungsgleich, also kongruent.
Merke: Außerhalb der Achse gilt: gleicher Abstand, andere Seite, senkrechter Weg. Auf der Achse sind Urpunkt und Bildpunkt derselbe Punkt.
Teste dich
Gegeben sind ein Punkt P und die Spiegelachse a. Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf die Achse. Das ist die Linie von der Nullmarke der langen Kante zur gegenüberliegenden Ecke. Verschiebe das Geodreieck entlang der Achse, bis die lange Kante durch P geht, und zeichne dort eine Hilfslinie. Sie steht senkrecht auf a. Miss auf ihr den Abstand von P bis zur Achse und trage ihn auf der anderen Seite ab. Den neuen Punkt nennst du P'. Liegt P direkt auf der Achse, gibt es nichts abzutragen: P = P'.
Beispiel: Punkt P mit 4 cm Abstand spiegeln
- 1Zeichne durch P die Senkrechte zur Achse a.
- 2Miss auf ihr den Abstand von P zur Achse: 4 cm.
- 3Trage auf derselben Linie hinter der Achse wieder 4 cm ab und markiere P'.
- 4Abstand von P zu P': 4 cm + 4 cm = 8 cm. Die Achse liegt genau in der Mitte.
| Prüffrage | Muss gelten |
|---|---|
| Sind beide Abstände zur Achse gleich groß? | ja |
| Liegen die Punkte auf verschiedenen Seiten der Achse? | ja, außer der Punkt liegt auf der Achse |
| Steht ihre Verbindung senkrecht auf der Achse? | ja |
Teste dich
Bei einer Figur mit geraden Seiten, etwa einem Dreieck oder Viereck, spiegelst du nur die Eckpunkte einzeln. Danach verbindest du die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie bei der Urfigur. Achte auf die Richtung: Die Hilfslinien stehen immer senkrecht zur Spiegelachse, nicht zum Blattrand. Bei einer schrägen Achse verlaufen deshalb auch die Hilfslinien schräg über das Blatt. Und gleicher Abstand allein reicht nicht: Urpunkt und Bildpunkt müssen auch auf derselben Senkrechten zur Achse liegen.
Beispiel: Dreieck ABC an der Geraden a spiegeln
- 1Konstruiere zu A den Bildpunkt A'.
- 2Wiederhole das für B und C.
- 3Verbinde A', B' und C' in derselben Zuordnung wie bei der Urfigur.
- 4Prüfe: gleiche Seitenlängen, gleiche Winkel, umgekehrter Umlaufsinn.
Teste dich
Ein Punkt auf der Spiegelachse hat den Abstand null zur Achse. Sein Bildpunkt liegt deshalb genau an derselben Stelle. Weil jeder Punkt der Achse fest bleibt, heißt die Spiegelachse auch Fixpunktgerade. Etwas anderes ist eine Fixgerade: Sie bleibt als Ganzes erhalten, aber ihre Punkte dürfen die Plätze tauschen. Jede Gerade, die senkrecht zur Spiegelachse verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Auf ihr bleibt nur der Schnittpunkt mit der Achse fest, alle anderen Punkte wechseln paarweise die Seite. Jede Fixpunktgerade ist also auch eine Fixgerade, aber nicht umgekehrt. Und beim Zeichnen gilt: Einen Punkt auf der Achse zeichnest du nur einmal, er ist Urpunkt und Bildpunkt zugleich.
Definition
Fixpunkt
Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der bei einer Abbildung an seinem Platz bleibt. Liegt D auf der Spiegelachse, gilt D = D'.
| Begriff | Was bleibt fest? | Bei der Achsenspiegelung |
|---|---|---|
| Fixpunkt | ein einzelner Punkt | jeder Punkt auf der Achse |
| Fixpunktgerade | jeder Punkt der Geraden | die Spiegelachse selbst |
| Fixgerade | die Gerade als Ganzes | jede Senkrechte zur Achse |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Achsenspiegelung
Zuordnung
Urpunkt P wird Bildpunkt P'
Lage
gleicher Abstand, gegenüberliegende Seiten
Konstruktion
senkrecht zur Achse messen und Abstand übertragen
Erhalten
Längen und Winkel bleiben gleich
Umgekehrt
der Umlaufsinn
Sonderfall
Punkte auf der Achse bleiben fest
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Punkt Q mit 3 cm Abstand und Punkt D auf der Achse spiegeln
- 1Zeichne durch Q die Senkrechte zur Achse a.
- 2Trage vom Schnittpunkt mit a auf dieser Linie 3 cm zur anderen Seite ab. Dort liegt Q'.
- 3Abstand von Q zu Q': 3 cm + 3 cm = 6 cm
- 4D liegt auf a, sein Abstand zur Achse ist null. Also gilt D' = D.
Fehler finden
Punkt P an einer schrägen Achse a spiegeln In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Hilfslinie muss senkrecht zur Spiegelachse a stehen, nicht zum Blattrand. Richtig: Zeichne durch P die Senkrechte zu a und trage auf ihr die 2 cm ab.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Urpunkt und Bildpunkt sind von der Spiegelachse entfernt. Ihre Verbindung steht zur Achse. Ein Punkt auf der Achse ist ein und bleibt an seinem Platz.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback