Strahl und Halbgerade einfach erklärt

Stell dir vor, eine gerade Linie beginnt bei einem Punkt und wird in nur einer Richtung immer weiter verlängert. Genau dieses geometrische Objekt heißt Strahl oder Halbgerade. Der Strahl mit Anfangspunkt A in Richtung des Punktes B enthält den Anfangspunkt A, verläuft durch B, setzt sich über B hinaus fort und besitzt keine messbare Gesamtlänge. Die Bezeichnungen [AB) und \overrightarrow{AB} können für diesen Strahl verwendet werden. In beiden Fällen steht A zuerst, weil A der Anfangspunkt ist.

Für einen eindeutigen Strahl brauchst du zwei verschiedene Punkte: Der erste Punkt ist der Anfangspunkt. Der zweite Punkt legt die Richtung fest. Du zeichnest eine gerade Linie vom Anfangspunkt durch den zweiten Punkt. Du verlängerst die Linie über den zweiten Punkt hinaus. Ein Lichtstrahl oder ein Zahlenstrahl kann dir als Vorstellung helfen. Das Alltagsbild veranschaulicht die Richtung; die mathematische Definition bleibt eine gerade Linie mit einem Anfangspunkt.

Alle drei Objekte verlaufen geradlinig. Der entscheidende Unterschied ist die Anzahl ihrer Begrenzungspunkte. Eine Strecke zwischen A und B ist die kürzeste Verbindung dieser beiden Punkte. Sie endet an beiden Punkten. Ihre Länge kann beispielsweise |AB|=3\,\mathrm{cm} betragen. Ein Strahl kann entstehen, wenn du eine Strecke über einen ihrer Endpunkte hinaus unbegrenzt verlängerst. Eine Gerade besitzt weder Anfangs- noch Endpunkt. Punkte auf ihr legen ihre Lage fest, begrenzen sie aber nicht. Beim Strahl [AB) ist A der Anfangspunkt. Der Strahl verläuft von A durch B und über B hinaus. Beim Strahl [BA) ist dagegen B der Anfangspunkt. Er verläuft von B durch A und über A hinaus. Deshalb sind [AB) und [BA) nicht derselbe Strahl. Bei der Strecke zwischen A und B ist die Reihenfolge dagegen gleichgültig: Die Strecke AB verbindet dieselben beiden Endpunkte wie die Strecke BA.

Dieser Abschnitt ist eine Vertiefung für später: Vektoren lernst du erst in der Oberstufe kennen. In einem Koordinatensystem lässt sich ein Strahl mit einer Parameterform beschreiben. Ein Parameter ist eine veränderliche Zahl, die verschiedene Punkte des Strahls erzeugt. Für den Strahl mit Anfangspunkt A und Richtung durch B gilt: \vec{x}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a}),\qquad \lambda\ge 0 Dabei ist \vec{a} der Ortsvektor von A. Der Vektor \vec{b}-\vec{a} zeigt von A nach B. Die Bedingung \lambda\ge 0 schließt den Anfangspunkt ein. Bei einer offenen Halbgeraden ist der Anfangspunkt ausgeschlossen; dann gilt \lambda>0.