Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Zusammengesetzte Körper: Volumen und Oberfläche
Zusammengesetzte Körper bestehen aus Grundkörpern. Du lernst, sie zu zerlegen und Volumen und Oberfläche mit Kontaktflächen richtig zu berechnen.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus mehreren Grundkörpern wie Quader, Zylinder oder Kegel. Beim Volumen addierst du angesetzte Teile und subtrahierst Aussparungen. Bei der Oberfläche zählen nur frei liegende Flächen: Addierst du zwei ganze Oberflächen, ziehst du die Kontaktfläche zweimal ab.
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus mehreren bekannten Grundkörpern. Du zerlegst ihn gedanklich, berechnest die passenden Beiträge und verbindest sie: Angesetztes Volumen wird addiert, entferntes Volumen subtrahiert. Bei der Oberfläche zählen nur Flächen, die tatsächlich frei liegen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir ein Spielhaus aus einem Würfel und einem pyramidenförmigen Dach vor. Die Trennlinie zwischen beiden Teilen zeigt dir, wo du den Körper gedanklich zerlegen kannst. Gehe immer in dieser Reihenfolge vor: Markiere angesetzte Teile und Aussparungen. Benenne jeden Grundkörper. Notiere die benötigten Maße in derselben Längeneinheit. Entscheide, ob Volumen oder Oberfläche gesucht ist. Wähle erst dann die passenden Formeln.
Definition
Zusammengesetzter Körper
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus mindestens zwei einfachen Grundkörpern, zum Beispiel Quadern, Prismen, Zylindern, Pyramiden, Kegeln oder Kugelteilen. Auch ein Grundkörper mit einer Aushöhlung gehört dazu.
Merke: Eine Skizze mit Trennlinien und Vorzeichen verhindert viele Fehler: Plus für angesetzte Teile, Minus für entfernte Teile.
Teste dich
Das Volumen misst den Rauminhalt. Für angesetzte Teilkörper gilt: V_{gesamt}=V_1+V_2+\dots Für eine Aushöhlung gilt entsprechend: V_{Rest}=V_{Grundkörper}-V_{Aushöhlung} Bei Quadern verwendest du V=a\cdot b\cdot h. Für gerade Prismen und Zylinder gilt das gemeinsame Prinzip Grundfläche mal Höhe: V=G\cdot h Bei Pyramiden und Kegeln ist das Volumen ein Drittel so groß wie beim passenden Prisma oder Zylinder: V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h
Beispiel: Gestufter Körper aus zwei Quadern
- 1Unterer Quader: V_1=6\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}\cdot1{,}5\,\mathrm{cm}=18\,\mathrm{cm^3}
- 2Oberer Quader: V_2=2\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}=8\,\mathrm{cm^3}
- 3Beide Teile sind angesetzt: V_{gesamt}=18\,\mathrm{cm^3}+8\,\mathrm{cm^3}=26\,\mathrm{cm^3}
- 4Die Einheit \mathrm{cm^3} passt, weil drei Längen multipliziert wurden.
Beispiel: Quader mit zwei gleichen Lücken
- 1Volumen des vollen Quaders: 70\,\mathrm{cm^3}
- 2Eine Lücke: V_{Lücke}=3\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}\cdot1{,}4\,\mathrm{cm}=8{,}4\,\mathrm{cm^3}
- 3V_{Rest}=70\,\mathrm{cm^3}-2\cdot8{,}4\,\mathrm{cm^3}=53{,}2\,\mathrm{cm^3}
- 4Das Ergebnis ist kleiner als der volle Quader, also plausibel.
Teste dich
Die Oberfläche ist die Summe aller frei liegenden Flächen. Eine Kontaktfläche zwischen zwei zusammengeklebten Körpern liegt innen und zählt nicht. Wenn du zunächst die vollständigen Oberflächen zweier Körper addierst, ist ihre gemeinsame Kontaktfläche zweimal enthalten: einmal bei jedem Teilkörper. Du musst sie daher zweimal abziehen. O_{gesamt}=O_1+O_2-2\cdot A_{Kontakt} Du kannst auch direkt nur die außen liegenden Teilflächen sammeln. Beide Wege führen zum selben Ergebnis. Bei einer Aushöhlung wird Volumen entfernt. Gleichzeitig können neue Innenflächen entstehen, die zur Oberfläche gehören. Deshalb kann das Volumen kleiner, die Oberfläche aber größer werden.
Beispiel: Zylinder mit aufgesetztem Kegel
- 1Zylinder: Die untere Kreisfläche und der Mantel liegen frei.
- 2Kegel: Nur der Mantel liegt frei.
- 3Oberer Zylinderdeckel und Kegelboden bilden die Kontaktfläche.
- 4Sie liegt innen und wird nicht mitgerechnet.
Teste dich
Eine vollständige Rechnung zeigt die Turmspitze unten: Ein Zylinder trägt einen Kegel mit demselben Radius. Für den Kegelmantel brauchst du zuerst die Mantellinie s. Sie bildet mit Radius und Kegelhöhe ein rechtwinkliges Dreieck, deshalb hilft der Satz des Pythagoras. Bevor du rechnest, müssen alle Längen in derselben Einheit stehen. Aus Längen entstehen je nach Rechnung verschiedene Einheiten: Längen in \mathrm{cm}, Flächen in \mathrm{cm^2}, Volumen in \mathrm{cm^3}. Runde möglichst erst das Endergebnis. Gerundete Zwischenergebnisse können sich beim Addieren oder Subtrahieren zu einer vermeidbaren Abweichung summieren. Ein reales Objekt kann durch Grundkörper nur angenähert werden. Dann ist auch das berechnete Volumen ein Näherungswert. Schreibe das mit dem Zeichen \approx kenntlich.
Beispiel: Volumen und Oberfläche einer Turmspitze
- 1Zylinder und Kegel mit r=1{,}5\,\mathrm{m}, h_Z=2\,\mathrm{m} und h_K=3{,}5\,\mathrm{m}
- 2Volumen: V=\pi r^2h_Z+\frac{1}{3}\pi r^2h_K
- 3V=\pi\cdot1{,}5^2\cdot2+\frac{1}{3}\pi\cdot1{,}5^2\cdot3{,}5\approx22{,}38\,\mathrm{m^3}
- 4Mantellinie: s=\sqrt{1{,}5^2+3{,}5^2}\,\mathrm{m}\approx3{,}81\,\mathrm{m}
- 5Oberfläche ohne Kontaktfläche: O=\pi r^2+2\pi rh_Z+\pi rs
- 6O=\pi\cdot1{,}5^2+2\pi\cdot1{,}5\cdot2+\pi\cdot1{,}5\cdot\sqrt{1{,}5^2+3{,}5^2}\approx43{,}86\,\mathrm{m^2}
Merke: Prüfe am Ende vier Punkte: richtiges Vorzeichen, passende Einheit, verlangte Rundung und Plausibilität im Sachzusammenhang.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Zusammengesetzte Körper
Zerlegen
Grundkörper, Aushöhlungen und Kontaktflächen erkennen
Volumen
angesetzte Teile addieren, entfernte Teile subtrahieren
Oberfläche
nur frei liegende Außen- und Innenflächen zählen
Rechnen
Einheiten vereinheitlichen und Formeln einsetzen
Prüfen
Vorzeichen, Einheit, Rundung und Plausibilität kontrollieren
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Volumen eines Spielhauses aus Würfel und Pyramidendach
- 1Würfel: V_W=2\,\mathrm{m}\cdot2\,\mathrm{m}\cdot2\,\mathrm{m}=8\,\mathrm{m^3}
- 2Grundfläche des Dachs: G=2\,\mathrm{m}\cdot2\,\mathrm{m}=4\,\mathrm{m^2}
- 3Dach mit Höhe 1,5 m: V_P=\frac{1}{3}\cdot4\,\mathrm{m^2}\cdot1{,}5\,\mathrm{m}=2\,\mathrm{m^3}
- 4Das Dach ist angesetzt, also addierst du.
- 5V=8\,\mathrm{m^3}+2\,\mathrm{m^3}=10\,\mathrm{m^3}
Fehler finden
Oberfläche von zwei aufeinandergestellten Würfeln mit 2 cm Kantenlänge In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Kontaktfläche steckt in beiden Würfeloberflächen und muss zweimal abgezogen werden: O_{gesamt}=48\,\mathrm{cm^2}-2\cdot4\,\mathrm{cm^2}=40\,\mathrm{cm^2}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei der Turmspitze werden die Teilvolumina . Die gemeinsame Kreisfläche liegt und zählt deshalb nicht zur äußeren Oberfläche. Die Mantellinie des Kegels wird mit dem bestimmt.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback