Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Umkreis eines Dreiecks konstruieren und verstehen
Der Umkreis geht durch alle drei Ecken eines Dreiecks. Du lernst, wie du seinen Mittelpunkt findest, ihn zeichnest und wo er liegt.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte verläuft. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, denn dieser Punkt ist von allen Ecken gleich weit entfernt. Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt zu einer Ecke.
Der Umkreis ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte eines Dreiecks verläuft. Seinen Mittelpunkt findest du als Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten. Die dritte Mittelsenkrechte verläuft ebenfalls durch diesen Punkt und eignet sich zur Kontrolle.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der Radius ist der Abstand vom Umkreismittelpunkt zu einem Eckpunkt. Dabei ist es gleichgültig, welchen Eckpunkt du auswählst: Der Mittelpunkt ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt. Verwechsle den Umkreis nicht mit dem Inkreis. Der Umkreis verläuft durch die Eckpunkte. Der Inkreis liegt im Dreieck und berührt die Seiten.
Definition
Umkreis
Der Umkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, auf dessen Kreislinie alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen. Sein Mittelpunkt heißt Umkreismittelpunkt.
Merke: Umkreis: durch die Ecken. Inkreis: an den Seiten.
Teste dich
Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke hat zu deren beiden Endpunkten den gleichen Abstand. Das macht die Mittelsenkrechte zu einer Ortslinie: Sie enthält genau die Punkte mit dieser gemeinsamen Eigenschaft. Verwechsle sie nicht mit der Seitenhalbierenden: Die geht zwar auch durch die Seitenmitte, aber weiter zur gegenüberliegenden Ecke und steht meist nicht senkrecht auf der Seite. Betrachte ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C. Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Seite AB ist von A und B gleich weit entfernt. Liegt derselbe Punkt auch auf der Mittelsenkrechten der Seite BC, ist er zusätzlich von B und C gleich weit entfernt. Damit hat er zu allen drei Ecken den gleichen Abstand. Genau deshalb ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Umkreismittelpunkt. Ein Kreis um diesen Punkt kann durch alle drei Ecken verlaufen.
Definition
Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist eine Gerade, die durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.
Beispiel: Warum M von allen Ecken gleich weit entfernt ist
- 1Die Mittelsenkrechten von AB und BC schneiden sich in M.
- 2Wegen der ersten Mittelsenkrechten ist M von A und B gleich weit entfernt.
- 3Wegen der zweiten Mittelsenkrechten ist M von B und C gleich weit entfernt.
- 4Deshalb ist M von A, B und C gleich weit entfernt.
- 5Ein Kreis um M durch A geht also auch durch B und C: Das ist der Umkreis.
Teste dich
Du brauchst ein Dreieck, ein Geodreieck, einen Zirkel und einen Stift. Die Tabelle zeigt die sieben Schritte. Treffen Kreislinie und Eckpunkte wegen kleiner Zeichenfehler nicht genau zusammen, prüfe zuerst die Seitenmittelpunkte, die rechten Winkel der Mittelsenkrechten und ihren Schnittpunkt.
| Schritt | Was du tust |
|---|---|
| 1 | Wähle eine Dreiecksseite und markiere ihren Mittelpunkt. |
| 2 | Zeichne durch diesen Mittelpunkt die Senkrechte zur Seite: die erste Mittelsenkrechte. |
| 3 | Wiederhole das an einer zweiten Dreiecksseite. |
| 4 | Markiere den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten: den Umkreismittelpunkt M. |
| 5 | Stich den Zirkel in M ein und öffne ihn bis zu einem Eckpunkt. |
| 6 | Zeichne den Kreis. Er muss durch alle drei Eckpunkte verlaufen. |
| 7 | Zur Kontrolle: Auch die dritte Mittelsenkrechte muss durch M gehen. |
Beispiel: Umkreis von Dreieck ABC zeichnen
- 1Mittelsenkrechte von AB zeichnen
- 2Mittelsenkrechte von AC zeichnen
- 3Schnittpunkt markieren: M
- 4Zirkel in M einstechen, bis A öffnen, Kreis zeichnen
- 5Kontrolle: B und C liegen auch auf der Kreislinie
Teste dich
Die Lage des Umkreismittelpunkts hängt von den Innenwinkeln des Dreiecks ab. Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Das passt zum Satz des Thales: Der Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Thaleskreis über der Hypotenuse. Ein Mittelpunkt außerhalb des Dreiecks ist kein Konstruktionsfehler. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist genau diese Lage richtig.
| Dreiecksart | Kennzeichen | Lage des Umkreismittelpunkts |
|---|---|---|
| spitzwinklig | Alle Innenwinkel sind kleiner als 90° | innerhalb des Dreiecks |
| rechtwinklig | Ein Innenwinkel beträgt 90° | in der Mitte der Hypotenuse |
| stumpfwinklig | Ein Innenwinkel ist größer als 90° | außerhalb des Dreiecks |
Merke: Spitzwinklig: innen. Rechtwinklig: Hypotenusenmitte. Stumpfwinklig: außen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Umkreis
Kreislinie
verläuft durch alle drei Eckpunkte
Mittelpunkt
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
Radius
Abstand vom Mittelpunkt zu einer Ecke
Begründung
gleiche Abstände zu allen Ecken
Konstruktion
zwei Mittelsenkrechten zeichnen, Schnittpunkt markieren, Kreis ziehen
Lage
innen, Hypotenusenmitte oder außen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Umkreis im Koordinatensystem
- 1Dreieck: A(0\mid 0), B(8\mid 0), C(2\mid 6)
- 2Seite AB hat die Mitte (4\mid 0). Ihre Mittelsenkrechte ist die senkrechte Gerade durch diesen Punkt.
- 3Seite AC hat die Mitte (1\mid 3). Ihre Mittelsenkrechte schneidet die erste in M(4\mid 2).
- 4Kontrolle: Von M aus liegt A 4 Kästchen links und 2 unten, B 4 rechts und 2 unten, C 2 links und 4 oben. Alle drei Ecken sind also gleich weit von M entfernt.
- 5Alle Innenwinkel sind spitz, und M liegt wie erwartet im Dreieck.
Fehler finden
Umkreis von Dreieck ABC zeichnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der Radius ist der Abstand von M zu einer Ecke, nicht zu einer Seitenmitte. Richtig: Öffne den Zirkel von M bis zum Eckpunkt A.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Umkreis verläuft durch alle drei des Dreiecks. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der . Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt er des Dreiecks.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback