Mathematik · Klasse 6–8 · aktualisiert
Volumen berechnen: Würfel, Quader, Prisma, Zylinder
Das Volumen ist der Rauminhalt eines Körpers. Du lernst, Würfel, Quader, Prisma und Zylinder in fünf Schritten zu berechnen und zu prüfen.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Volumen berechnest du so: Körperform erkennen, alle Längen in dieselbe Einheit bringen, in die passende Formel einsetzen. Würfel: V=a^3, Quader: V=l\cdot b\cdot h, Prisma und Zylinder: V=G\cdot h, beim Zylinder mit G=\pi r^2. Das Ergebnis hat eine Kubikeinheit wie \mathrm{cm}^3.
Das Volumen gibt an, wie viel dreidimensionalen Raum ein Körper einnimmt. Zum Berechnen erkennst du zuerst die Körperform, gleichst die Längeneinheiten an und setzt die Maße in die passende Formel ein.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Fläche besitzt Länge und Breite. Ein Körper hat zusätzlich eine Höhe und nimmt dadurch Raum ein. Volumen wird in Kubikeinheiten angegeben, zum Beispiel in \mathrm{mm}^3, \mathrm{cm}^3, \mathrm{dm}^3 oder \mathrm{m}^3. Die Hochzahl 3 zeigt, dass drei räumliche Richtungen berücksichtigt werden.
Definition
Volumen
Das Volumen ist der Rauminhalt eines Körpers. Ein anderer Name dafür ist Kubikinhalt. Das Formelzeichen ist V.
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Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang. Für die Kantenlänge a gilt: V=a^3 Das bedeutet a^3=a\cdot a\cdot a. Die häufige Verwechslung a^2 beschreibt nur eine quadratische Fläche, nicht den Rauminhalt. Beim Quader können Länge l, Breite b und Höhe h verschieden sein: V=l\cdot b\cdot h
Beispiel: Quader mit l=2\,\mathrm{cm}, b=3\,\mathrm{cm} und h=4\,\mathrm{cm}
- 1Formel: V=l\cdot b\cdot h
- 2V=2\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}=24\,\mathrm{cm}^3
- 3Drei Längen multipliziert, also steht die Einheit hoch 3.
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Bei einem geraden Prisma wird zuerst der Inhalt seiner Grundfläche G bestimmt. Anschließend wird diese Fläche mit der Körperhöhe h multipliziert: V=G\cdot h Du kannst dir den Körper als Stapel gleich großer Grundflächen vorstellen. Die Körperhöhe beschreibt, wie hoch dieser Stapel ist. Ein Zylinder folgt demselben Prinzip. Seine Grundfläche ist ein Kreis. Mit dem Radius r besitzt dieser Kreis den Flächeninhalt \pi r^2. Daher gilt: V=\pi\cdot r^2\cdot h
Beispiel: Zylinder mit r=2\,\mathrm{cm} und h=5\,\mathrm{cm}
- 1Radius quadrieren: r^2=(2\,\mathrm{cm})^2=4\,\mathrm{cm}^2
- 2Einsetzen: V=\pi\cdot4\,\mathrm{cm}^2\cdot5\,\mathrm{cm}=20\pi\,\mathrm{cm}^3
- 3Gerundet: 20\pi\,\mathrm{cm}^3\approx62{,}8\,\mathrm{cm}^3
Merke: Bei Prisma und Zylinder gilt Grundfläche mal Körperhöhe. Beim Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis mit G=\pi r^2.
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Gehe bei jeder Volumenaufgabe in derselben Reihenfolge vor: Körper erkennen: Ist es ein Würfel, Quader, Prisma oder Zylinder? Maße zuordnen: Welche Angaben sind Seitenlängen, Radius, Grundfläche oder Körperhöhe? Einheiten angleichen: Alle benötigten Längen müssen in derselben Einheit stehen. Passende Formel einsetzen: Verwende nur die Formel für die erkannte Körperform. Ergebnis prüfen: Notiere eine Kubikeinheit und kontrolliere, ob das Ergebnis zum Körper passt. Sind alle Längen in Zentimetern angegeben, erhältst du das Volumen in Kubikzentimetern. Bei Metern entsteht entsprechend Kubikmeter. Für Flüssigkeiten ist der Liter besonders gebräuchlich. Es gilt: 1\,\mathrm{dm}^3=1\,\mathrm{L} Prüfe dein Ergebnis mit drei Fragen: Passen Formel und Körperform zusammen? Wurden nur Größen mit passenden Einheiten verrechnet? Steht am Ergebnis eine Kubikeinheit oder die passende Literangabe?
Merke: Erst Körperform und Einheiten prüfen, dann rechnen. Eine richtig ausgeführte Rechnung mit der falschen Formel bleibt falsch.
Beispiel: Gefäß, innen 5\,\mathrm{dm} lang, 3\,\mathrm{dm} breit, 4\,\mathrm{dm} hoch
- 1V=5\,\mathrm{dm}\cdot3\,\mathrm{dm}\cdot4\,\mathrm{dm}=60\,\mathrm{dm}^3
- 2Wegen 1\,\mathrm{dm}^3=1\,\mathrm{L} gilt:
- 360\,\mathrm{dm}^3=60\,\mathrm{L}
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Alles auf einen Blick
Volumen berechnen
Bedeutung
dreidimensionaler Rauminhalt in Kubikeinheiten
Vorbereitung
Körper erkennen und Einheiten angleichen
Würfel und Quader
V=a^3 und V=l\cdot b\cdot h
Prisma und Zylinder
V=G\cdot h, beim Zylinder V=\pi r^2h
Prüfung
Formel, Einheit und Plausibilität kontrollieren
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Aquarium: 60\,\mathrm{cm} lang, 3\,\mathrm{dm} breit, 400\,\mathrm{mm} hoch. Wie viele Liter passen hinein?
- 1Körper: Quader, also V=l\cdot b\cdot h
- 2Einheiten angleichen: 3\,\mathrm{dm}=30\,\mathrm{cm} und 400\,\mathrm{mm}=40\,\mathrm{cm}
- 3V=60\,\mathrm{cm}\cdot30\,\mathrm{cm}\cdot40\,\mathrm{cm}=72.000\,\mathrm{cm}^3
- 472.000\,\mathrm{cm}^3=72\,\mathrm{dm}^3=72\,\mathrm{L}
- 5Probe: Kubikeinheit, und 72 Liter passen zu einem Aquarium.
Fehler finden
Wie viel Erde passt in ein Hochbeet? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Einheiten wurden nicht angeglichen: 2\,\mathrm{m}=200\,\mathrm{cm}. Richtig: V=200\,\mathrm{cm}\cdot50\,\mathrm{cm}\cdot30\,\mathrm{cm}=300.000\,\mathrm{cm}^3, das sind 300 Liter.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Das Volumen wird in angegeben. Bei Prisma und Zylinder gilt Grundfläche Körperhöhe. Beim Zylinder wird der quadriert.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback